答案简数值计算与Mat2011～2012学年第二学期期末试卷A.docVIP

2011～2012年第二学期《数值计算方法与Matlab》(A卷)2012年6月11日） 一、填空题：（共42分,3分） 1.位有效数字。 2. ，。 3.和 11.000 （保留3位小数）。 4. 差商和。 5.从几何角度上看，是在中的 正交投影 。 6.和 。 7. SOR法迭代格式，满足。 8设，则的条件数。 二、解下列各题：（共36分, 每小题9分） 1. 确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指出所确定的求积公式的代数精度。 解：首先令，分别代入求积公式中，使其精确地成立，得关于系数的方程： （6分） 解得，，。将的上述值代回积分公式，得 。 （8分） 再令，代入积分公式得：左边 = 2/5，右边 = ，左边不等于右边，所以求积公式的代数精度是2。 （9分） 2. 利用Romberg数值积分公式计算积分，取初始步长为1（保留5位小数）。 解：被积函数，首先在区间[0，1]上使用梯形公式计算，有 将 [0 , 1] 对分, 它的中点函数值, 则由变步长的梯形公式，有 0.708333。 因为，则利用外推公式，得=0.694444。 因为，则步长折半，取h = 1/2 ，再利用变步长的梯形公式计算 =0.697024。 因为，则由外推公式，得：=0.693254。 因为，再由外推公式，得=0.693175。 由于不满足终止条件，再将步长折半，取h = 1/4，继续利用变步长的梯形公式计算 =0.694122。 （6分） 再由外推公式，得：=0.693155，=0.693148， =0.693148。 因为，所以终止计算，取0.69315为积分的近似值。 （9分） 另解：求出,然后利用Romberg算法对其进行计算,计算结果列于下表： k 0 0.75 1 0.708333 0.694444 2 0.697024 0.693254 0.693175 3 0.694122 0.693155 0.693148 0.693148 （9分） 3. 已知函数的函数值表 x 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 f(x) 0.564642 0.644218 0.717356 0.783327 0.841471 用适当的四阶Newton插值公式计算的近似值（至少保留6位小数）。 解：因为数据点是等距的，所以使用等距节点的Newton插值公式。首先写出差分表 x f(x) ( (2 (3 (4 0 0.6 0.564642 0.079576 -0.006438 -0.000729 0.000069 1 0.7 0.644218 0.073138 -0.007167 -0.000666 2 0.8 0.717356 0.065971 -0.007827 3 0.9 0.783327 0.058144 4 1.0 0.841471 因为插值点在表前，故采用牛顿前插公式，，，。利用四阶Newton前插公式得 （6分） （8分） 。 （9分） 4.计算矩阵的LU分解（要求写出详细分解过程）。 解： （7分） 得到 （9分） 三、 应用题：（共22分，每小题11分） 1. 已知一组实验数据 t 1 2 3 4 5 6 7 8 y 4.00 6.40 8.00 8.80 9.22 9.50 9.70 9.86 试用最小二乘法求出经验公式中的。（结果保留3位小数） 解：先将其线性化得，令，则用来拟合原始数据。 由，得到新的数据关系表如下： xk 1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8 uk 0.2500 0.15625 0.1250 0.1136 0.1085 0.1053 0.1031 0.1014 （3分） 即在中求函数u。权函数,,。法方程形如： 这里，， ，和。 故有， （9分） 解得a = 0.0746，b = 0.172，所以最小二乘解为。 （11分） 2.一个捕食系统的模型为 ， 其中和是个无量纲的量，是时间t的函数，分别与猎物和捕食者的数量成正比，a和b是正常数。利用标准四阶Runge-Kutta法