函数与方程数形结合.docVIP

函数与方程、数形结合 所谓的数形结合，主要指的是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过以形助数或以数解形即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的①借助有关函数的性质，研究方程和不等式的解(集)； ②借助方程来研究函数的图象和性质．y＝x2－4x＋3的图象，并且根据图形回答： 写出函数图象与x轴交点的坐标； 根据图象分别写出当y＞0和y＜0时，x的取值范围； 根据图象写出当0≤x≤3时y的取值范围； (4)根据图象写出不等式x2－4x＜0的解集． (5)在同一坐标系中再作出y＝－x＋3的图象，并且 写出不等式x2－4x+3＞－x+3的解集． (6)讨论方程x2－4x＋3＝k的解的个数． 例2．试用两种不同的方法证明：关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根． 例3．问题：如何求抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝kx＋m的交点坐标？ 方法是首先联立方程组，消去y，得到一元二次方程 ax2＋bx＋c＝kx＋m，解这个一元二次方程．如果这个一元二次方程的判别式大于0，那么这个方程有两个不相等实数根，说明抛物线与直线有两个不同的交点；如果这个一元二次方程的判别式等于0，那么这个方程有两个相等实数根，说明抛物线与直线只有一个公共点，说明直线与抛物线相切；如果判别式小于0，那么这个方程没有实数根，说明抛物线与直线没有公共点． 根据上述材料，求抛物线y＝x2在点(1,1)处的切线方程． 例4．我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与蛋圆只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线如图，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为(0，3)，AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为(1,0)，半圆半径为2请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围； (2)你能求出经过点C的“蛋圆”切线的解析式吗？试试看； (3)开动脑筋想一想，相信你能求出经过点D的蛋圆切线的解析式 例5．借助二次函数研究以下问题： 一元二次方程有两个实根，一个比3大，一个比3小，求的取值范围例7．如图，在直角坐标系xOy中，点P为曲线y＝x2在第一象限内的图象上的任一点，点A的坐标为（0，1），直线l过B（0，－1）且与x轴平行，过P作y轴的平行线分别交x轴，l于C，Q，连结AQ交x轴于H，直线PH交y轴于R． 1)求证：H点为线段AQ的中点； 2)求证：四边形APQR为平行四边形； (3)进一步证明平行四边形APQR为菱形． 的图象与轴的交点分别为点A、B(点A在点B的左边)，与轴的交点为C．设△ABC的外接圆与y轴的另一个交点为P． (1)求证：△AOC∽△POB； 已知二次函数yax2＋bx＋c的图象如图，则下列叙述正确的是（　　） 　 A． abc＜0　　　B． ﹣3ac＜0 C． b24ac＜0 　 D． 将该函数图象向左平移2个单位后所得到抛物线的解析式为yax2＋c 2．二次函数y＝的图象如图，对称轴为直线．若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有解，则的取值范围是( )． A． B． C． D． 3．二次函数yx2－2（a+b）x+c2+2ab的图象的顶点在x轴上，且a、b、c为△ABC的三边长，则△ABC为( )A．锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形某玩具由一个圆形区域和一个扇形区域组成．如图，在⊙O1和扇形O2CD中，⊙O1与O2C、O2D分别相切于点A、B．已知∠CO2D＝60°，E、F是直线O1O2与⊙O1、扇形O2CD的两个交点，且EF＝24 cm．设⊙O1的半径为x cm． （1）用含x的代数式表示扇形O2CD的半径；（2）若⊙O1和扇形O2CD两个区域的制作成本分别为0.45元/cm2和0.06元/cm2，当⊙O1的半径为多少时，该玩具的制作成本最小？ 南京市金陵汇文学校初三上期末复习 B A F E D C O1 O2 A O B M D C y x x l Q C P A O B H R y 1 Ｏ x y 4