第五章.导数学案.doc

第 五 章? 导数与微分 §1 导数概念 内容： 1 导数的概念 2 导数的定义 3 单侧导数 4 用定义计算简单函数的导数 5 导数的几何意义 重点： 导数的定义和建立导数的变量数学思想。 ? 在第一章我们研究了函数，，函数的概念刻画了因变量随自变量变化的依赖关系，但是，对研究运动过程来说，仅知道变量之间的依赖关系是不够的，还需要进一步知道因变量随自变量变化的快慢程度，比如我国的卫星发射技术已进入世界先进行列，并且即将发射载人宇宙飞船，火箭升空过程中飞行速度的变化非常快，我们对它每时每刻的飞行速度都必须准确的把握，才能确保火箭准时进入预定的轨道，可见研究物体每时每刻的速度是很重要的，掌握速度变化规律是科学技术中的一个重要课题。 ? 变速运动物体的速度问题 在中学里我们学过 平均速度 ， 平均速度只能使我们对物体在一段时间内的运动大致情况有个了解， 这不但对于火箭发射控制够，就是对于比火箭速度慢的多的火车、汽车运行情况也是不够的，火车上坡、下坡、转弯、穿隧道时速度都有一定的要求，至于火箭升空那就不仅要掌握火箭的度，而且要掌握火箭飞行速度的变化规律 。不过瞬时速度的概念并不神秘，它可以通过平均速度的概念来把握。根据牛顿第一运动定理，物体运动具有惯性，不管它的速度变化多么快，在一段充分短的时间内，它的速度变化总是不大的，可以近似看成匀速运动。通常把这种近似代替称为“以匀代不匀”。设物体运动的路程是时间的函数 ，则在 到 ?这段时间内的平均速度为 ???????????????????? ? ? ? ? ? 可以看出 ?与 ?越接近，平均速度 ?与 时刻的瞬时速度越接近，当 ?无限接近时，平均速度 ?就发生了一个质的飞跃，平均速度转化为物体在 时刻的瞬时速度， 即物体在 时刻的瞬时速度为? ? ?????? （1） ? ? 照这种思想和方法计算自由落体的瞬时度如下：因为自由落体运动的运动方程为 按照上面的公式 ? ? ?这正是我们高中物理上自由落体运动的速度公式。 ? 切线问题 设曲线的方程为 ?，为过曲线上两点?与? 的割线，则的斜率为 ?????????? ??????????????????????????? ? 　 ? ? 如图，当点 ?沿着曲线趋近 时，割线 ?就趋近于点 处的切线，趋近于切线的斜率 ?，因此切 线的斜率应定义为 ??????????????????????????????????????????????????????????????????? ???????????????????????????????? ?（2） ????????? 上述的速度和切线的例子虽然各有其特殊内容，但如果撇开它们具体的物理意义，单从数量关系上看，它们有共同的本质：两者都表示函数因变量随自变量变化的快慢程度，即都反映了函数的变化率? ? 二、导数的定义 上述的速度和切线的例子虽然各有其特殊内容，但如果撇开它们具体的物理意义，单从数量关系上看它 们有共同的本质，两者都表示函数因变量随自变量变化的快慢程度，即都反映了函数的变化率? ???????????????????? ?（3） 定义1、设函数在点的某邻域内有定义，若极限 存在，则称函数在点可导，并称该极限为函数在点处的导数， ?等. ?若上述极限不存在，则称在点不可导。 注：令，，则（3）式可改写为 ??????? （4） ?所以，导数是函数增量△y与自变量增量△x之比的极限，这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率（又称差商），而导数 则为 ?在χ0处关于的变化率，它能够近似描绘函数 ?在点附近的变化性态。 例1? 求函数 ?在点x=1处的导数，并求曲线在点（1，1）处的切线方程。 解：由定义求得 ????????????????????? ? ???由此知道抛物线? ?在点（1，1）处的切线斜率为??? ?? 所以切线方程为 ? ?即? ?. ? 例2? 求函数 ?在 ?处的导数 解? 根据导数的定义 ? ?? ?? 例3?? ?证明函数 ?在点 ?处不可导. 证: 因为 ?????? 所以，函数 ?在点 ?处不可导. ? ? ? ? ? 极限 ?不存在，所以在?处不可导. 例4?证明 函数 ?， ?处不可导 证明? 由于极限 ???， 不存在,所以在处不可导. ??? 例5 常量函数 ?在任何一点?的导数都等于零，即 ?? 接下来我们来了解一下函数在点可导与函数在点连续的关系，为此先介绍有限增量公式. 由无穷小量和导数的定义，（4）式可写为 ? ???????? ? ???????? 我们称这个是式子为有限增量公式。 注：此公式对△χ= 0仍旧成立。利用有限增量公式，可得下面结论：? 定理1 若函数 在 ?处可导