第五章常微方程初值问题2学案.docVIP

第五章 常微方程初值问题 数值微分 我们讨论的导数问题。实际计算及讨论函数在具体某点的导数值。 我们自然想到微积分中的导数定义： 用作为的近似。 理论上这种近似，h越小越好，但实际计算相近的数相减会损失有效数字，实际计算中要注意这些问题。 二阶导数的三点公式： 精度高一个量级 往往利用插值方法先求出插值函数，在对函数求导，用之代替原函数的导数。 数值积分我们也曾这样做。 本章我们主要解决初值问题的数值解法。即： 数值解就是要求出在 一系列点上的近似值 。 假设在所讨论问题中连续。由Leibniz公式（或对方程积分）有： 依据上式可得到不同的数值解法。 §1 欧拉法和改进欧拉法、预估-校正法 由 积分可用 左矩形公式，得： 显式 用 右矩形公式，得： 隐式 梯形公式，得： 改进欧拉公式 精度比上两个高一个量级。 隐式和改进欧拉法都是一个方程。如果方程解时比较复杂，则用迭代发近似求解。 先用显式欧拉公式计算初值，再用改进欧拉公式迭代求解。 （数学证明当在所讨论的范围有界在h取得很小时，这种迭代收敛）。 公式为: 程序结构： F(x,y)=Y*Y WRITE(*,*) INPUT X0,Y0 READ(*,*) X0,Y0 WRITE(*,*) INPUT [x0，b] B READ(*,*) B WRITE(*,*) INPUT h READ(*,*)h Y=Y0 F0=F(X0,Y0) DO 100 X=X0, B, H K1= K2= K3= K4= Y=Y+ Y=Y0+H*F0 DO 200 K=1,10 Y=Y0+H/2.0*(F0+F(X,Y)) 200 CONTINUE WRITE (*,*) X+h,Y, 1.0/(1-X-h) Y0=Y F0=F(X,Y) 100 CONTINUE STOP END 注意：所计算的范围必须是从X0到某值B。因为是逐点递推的。 当计算范围为[B，X0]时，步长h取负值。 作业：数值解初值问题： 用改进公式解方程，并和精确解作图比较。 注意：本题中x的取值范围不能接近1，为什么？ 将方程换成，精确解为 计算[-2，2]间曲线 将方程换成，精确解为 计算[-2，2]间曲线 改进欧拉法在判断迭代收敛时很不好求（为什么？未知！）。 往往计算中用预估-校正法，公式如下： 左矩形 预估 右矩形 校正 §2 龙格-库塔法（Runge-Kutta） 欧拉法计算简单，精度不高。 预估校正法可写为： 将上式加以推广 ** 为待定系数，当时就是预估-校正法。 我们现在要选取上面的三个系数，使得上式的误差为。 我们将在展开： **** 其中： 另一方面，将 **式 中的在已知点展开 二元函数展开 带入**式得：下标x，y表示偏导数，n表示在点。 与****式比较 **** 我们取 时** 式的误差为 三个未知数两个方程，所以具体的取法很多。 当时，就是欧拉预估-校正法。 另一个常取，此时公式为： 中点公式 以上是二阶龙格-库塔公式，按照相似的方法做出三阶公式 %%% 为待定系数，选取这五个系数，可使得上式的误差为。 方法和前面一样，将在展开到三次项； 同时将%%%式也展开到三次项； 在比较对应项的系数。 最后可得 六个未知数，四个方程，常取如下两个公式： 四阶公式 上式为古典龙格库塔公式，最常用 程序很简单。 写时如果要用K作变量，将其定义成实型。 作业 1、将欧拉改进法程序改为四阶古典龙格库塔法，并比较结果。 2、将以前的作业改成用龙格库塔法来做。 3、考虑如下问题计算方法 4、自己选一系统（氢原子，线性谐振子，无限深势阱。。。。。），设定某种围绕，计算相关量子态几率随时间变化，画出曲线。注意：表达式并没有考虑自发跃迁。 类似于：设有五位同学A1、A2、A3、A4、A5，开始A1有十万元钱，其他人没钱。没人每天花费其所有的20%从其他四位同学那里买东东（相当于围绕矩阵元）。计算五位同学拥有的钱数随时间变化曲线。 §5.4含时间微扰理论 定态微扰理论不含时间