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第4章 线性系统的根轨迹法 问题的引入： 系统的稳定性和动态特性主要取决于系统闭环特征根的分布。 但是，求解高阶系统的特征根非常困难。 1948年，伊文思(w．R．Evans) ，提出了根轨迹法。 这是一种由开环传递函数间接判断闭环特征根的概略图解法，从 而避免了直接求解系统闭环特征根的困难。 本章主要内容包括： ?基本概念 ? 常规根轨迹的绘制 ? ? ?根轨迹图的绘制 ? ? 广义根轨迹的绘制 ? ? ?根轨迹图分析 1 4.1 根轨迹法的基本概念 4.1.1 根轨迹的定义 K * 【例4.1】已知某系统的开环传递函数为： sG )( = ss + )2( 试分析K*从0→∞时特征根的变化情况。 Im j1 × ● × Re -3 -2 -1 0 图中箭头所指为参数 K* -j1 增加的方向。 2 4.1 根轨迹法的基本概念 定义：当开环系统的某一参数从零到无穷变化时，闭环特征根 在s平面上形成的轨迹，叫做根轨迹。 4.1.2 根轨迹与系统性能 1. 稳定性 ： 当参数变化时，若根轨迹是否进入S平面的右半平面？参数为何值时进入？ 当所有根轨迹分支都在左半平面时，系统稳定。 2. 稳态性能 ： 回忆：稳态性能主要取决于系统的开环增益和积分环节个数。 由根轨迹图不仅可以方便的确定开环增益和积分环节个数，而且可 以根据给定系统的稳态误差要求, 确定闭环极点位置的容许范围。 3.动态性能： 回忆：动态性能形态主要取决于系统的——闭环极点 从根轨迹图上，可以直观地看到特征根随着 参数的变化情况，从而， 可以方便地确定动态性能随着参数的变化情况。 3 4.1 根轨迹法的基本概念 4.1.3 根轨迹方程 对于右图，特征方程为： + sHsG = 0)()(1 设开环传函为标准形式，即： m ? zsK )(* ∏ i 1(* sK m +? ) sHsG )()( = i=1 = n s n + ∏ ? ps j )( j=1 m ∏ ? zsK i )(* 则特征方程为： i=1 ——根轨迹方程 n ?= 1 ∏ ? ps j )( j=1 式中K * 称为根迹增益（注意其与开环增益的区别）