二次函数与分段函数.docVIP

第六讲：分段函数与二次函数 第一部分：分段函数 6． 设函数g(x)＝x2－2(x∈R)，f(x)＝ gx＋x＋4，xgx，gx－x，x≥gx，)则f(x)的值域是__________． 答案　[－94，0]∪(2，＋∞) 1．(2014·山西四校联考)定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝log2（8－x），x≤0，f（x－1）－f（x－2），x＞0，)则f(3)的值为(　　) A．1 B．2 C．－2 D．－3 2.(2015·全国Ⅱ卷)设函数f(x)＝1＋log2（2－x），x＜1，2x－1，x≥1，)则f(－2)＋f(log212)＝(　　) A.3 B.6 C.9 D.12 3．(2014·新课标全国Ⅰ卷)设函数f(x)＝ex－1，x＜1，13)，x≥1，则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是________．(－∞，8] 4．(2014·上海卷)设f(x)＝（x－a）2，x≤0，1x)＋a，x＞0.若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为(　　) A．[－1，2] B．[－1，0] C．[1，2] D．[0，2] 5.(2015·福建卷)若函数f(x)＝－x＋6，x≤2，3＋logax，x＞2)(a＞0，且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是________.(1，2] 6．(2014·浙江卷)设函数f(x)＝x2＋x，x＜0，－x2，x≥0.)若f(f(a))≤2，则实数a的取值范围是________．(－∞，2] 7.(2015·山东卷)设函数f(x)＝3x－1，x＜1，2x，x≥1，)则满足f(f(a))＝2f(a)的a取值范围是(　　) A.\f(23)，1) B.[0，1] C.\f(23)，＋∞) D.[1，＋∞) 8.【2015高考北京，理14】设函数 ①若，则的最小值为 ；1 ②若恰有2个零点，则实数的取值范围是 ． 或. 9．函数，则函数的零点个数是 .. 10．已知函数，其中. 若对任意的非零实数，存在唯一的非零实数，使得成立，则的取值范围为 A． B． C． D．或 11．已知函数f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m 的取值范围是________.(－∞，1] 第二部分：二次函数 1．是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1，3]上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由． 解　令f(x)＝0，则Δ＝(3a－2)2－4(a－1)＝9a2－16a＋8＝9\a\vs4\al\co1(a－\f(89))2＋89＞0恒成立， 即f(x)＝0有两个不相等的实数根，∴若实数a满足条件，则只需f(－1)·f(3)≤0即可． f(－1)·f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)·(9＋9a－6＋a－1)＝4(1－a)(5a＋1)≤0，∴a≤－15或a≥1. 检验：(1)当f(－1)＝0时，a＝1，所以f(x)＝x2＋x.令f(x)＝0，即x2＋x＝0，得x＝0或x＝－1.方程在[－1，3]上有两个实数根，不合题意，故a≠1. (2)当f(3)＝0时，a＝－15，此时f(x)＝x2－135x－65.令f(x)＝0，即x2－135x－65＝0， 解得x＝－25或x＝3.方程在[－1，3]上有两个实数根，不合题意，故a≠－15. 综上所述，a的取值范围是\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(15))∪(1，＋∞)． 2．已知f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围．则有f(1)＜0，(－2，1) 7． 设函数f(x)＝3ax2－2(a＋c)x＋c (a0，a，c∈R)． (1)设ac0.若f(x)c2－2c＋a对x∈[1，＋∞)恒成立，求c的取值范围； (2)函数f(x)在区间(0,1)内是否有零点，有几个零点？为什么？ 解　(1)因为二次函数f(x)＝3ax2－2(a＋c)x＋c的图象的对称轴为x＝a＋c3a，由条件ac0， 得2aa＋c，故a＋c3a2a3a＝231，即二次函数f(x)的对称轴在区间[1，＋∞)的左边，且抛 物线开口向上，故f(x)在[1，＋∞)内是增函数． 若f(x)c2－2c＋a对x∈[1，＋∞)恒成立，则f(x)min＝f(1)c2－2c＋a，即a－cc2－2c＋a， 得c2－c0，所以0c1. (2)①若f(0)·f(1)＝c·(a－c)0， 则c0，或ac，二次函数f(x)在(0,1)内只有一个零点． ②若f(0)＝c0，f(1)＝a－c0，则ac0. 因为二次函数f(x)＝