范德蒙行列式的证明及其应用..docVIP

PAGE - 7 - PAGE \* MERGEFORMAT- 10 - 范德蒙德行列式的证明及其应用 摘 要：介绍了阶范德蒙行列式的定义,用递推法和拉普拉斯定理两种方法证明了范德蒙行列式,辅以实例研究了它在高等代数中的一些应用.向量空间理论用来解决线性问题;在线性变换理论、多项式理论和微积分理论中,主要用它构造线性方程组,进而应用克拉默法则或相关定理判断根的情况;在行列式计算中,主要运用范德蒙行列式的结论简化阶行列式的计算过程.探究范德蒙行列式的历史及相关应用,为更进一步钻研其相关性质与应用奠定了良好的基础. 关键词：范德蒙德行列式;向量空间;线性变换;应用 1引言 行列式本身有着长远的历史发展过程.它的理论最早可追溯到十七世纪末,在十九世纪末,其理论体系已基本形成. 1683年,定义行列式概念的是日本数学家关孝和.同一年,德国数学家莱布尼茨首先开始使用指标数的系数集合来表示有三个未知数的三个一次方程组的系数.他这种解决方程组的思维方式为行列式理论的深入研究工作打下了坚实地基础.1771年,范德蒙创造性的在深入研究行列式理论的基础上,尝试解线性方程组.他这种勇于创新、敢于探索的精神为大家所认可,被公认为行列式的奠基人.他以现在被大家所熟悉的拉格朗日著作中的相关知识为理论基础,进行了反复的钻研,为后来研究群的概念奠定了良好的基础.第一个阐述行列式的数学家便是范德蒙.他运用自己的聪明才智、活跃的思维、批判的科研态度给出了现代代数书中二阶子式及余子式的定义,经过推理,演绎这一系列严谨的过程,完善了行列式的概念,并给出了行列式的数学符号记录.1772年,皮埃尔-西蒙.拉普拉斯在范德蒙著作和自身灵感的启示下,思维方法发生了变化,得出了子类型的概念.自此起,人们对行列式展开了单独的研究. 人们为了深入了解行列式理论的本质特征,在19世纪展开了更深层次的研究.柯西积极吸收前人的劳动成果的同时,首次给出了行列式的系统理论.包括双重组标记法、行列式的乘法定理等.1832年至1833年,问卡尔.雅可给出了一个特殊的行列式的计算结果.基于此,1839年,卡塔兰发现了Jacobian行列式. 范德蒙行列式整齐、完美的结构形式???我们体验到数学之美.简单探索它的应用,感悟数学的魅力.如果我们能够深入探索范德蒙行列式并灵活运用它,未来将更广泛的应用在数学各个领域. 2范德蒙行列式的定义及证明 2.1定义 行列式 (1) 称为阶的范德蒙（Vandermonde）行列式. 由范德蒙行列式的定义,我们可以得出结论:对任意的 QUOTE \* MERGEFORMAT 阶范德蒙行列式等于这个数的所有可能的差 QUOTE \* MERGEFORMAT 的乘积. 2.2范德蒙德行列式的证明 2.2.1用递推法证明 上式 仿上做法,有 再递推下去,直到.故 2.2.2用Laplace定理证明 已知在级行列式 中,除第 行（或第 QUOTE \* MERGEFORMAT 列）的元素以外,行列式中其余元素全是零,则由Laplace定理得:此行列式等于与它的代数余子式 QUOTE \* MERGEFORMAT 的乘积,在 中，从最后一行开始，每一行减去它相邻前一行的倍,得 根据上述定理  QUOTE  把每列的公因子提出来,得  QUOTE  QUOTE  等式右边的第二个因子是 QUOTE \* MERGEFORMAT 阶行列式,用表示,则上式中 同样地,可以得到 此处是一个阶范德蒙行列式,一直继续下去,得 3范德蒙德行列式的应用 3.1在向量空间理论中的应用 在解析几何中,直观上我们经常认为一维、二维、三维向量空间是有意义的.当时,就没有直接的现实意义,但在高等代数这门课程中,维向量空间却是很常见的.当涉及线性相关问题时,通常我们通过构造同构映射的方法,将其转化为范德蒙行列式的问题,进而利用该行列式是否为零判断线性相关性. 例1.设 QUOTE \* MERGEFORMAT 是数域上的 QUOTE \* MERGEFORMAT 维向量空间,任给正整数,则在中存个向量,其中任取个向量都线性无关. 证明:因为,所以只须在中考虑. 取 QUOTE \* MERGEFORMAT  令 QUOTE   QUOTE 是范德蒙行列式 且,所以线性无关. 3.2在线性变换中的应用 线性变换是代数学中的一个重要概念,它的抽象性使我们在掌握这个概念时比较困难.此时,我们可以应用线性变换的定义及性质,考虑构造新函数,运用方程思想解决此类问题. 例2.设数域上的维向量的线性变换有个互异的特征值,则与可交换的的线性变换是的线性组合,这里为恒等变换.