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线性代数（第五版）2015.10.14 修改人：XFSU 第一章 行列式 §1 二阶与三阶行列式 1. 二阶行列式 二元线性方程组 当 时，方程组有唯一解 用消元法 得 记 则有 于是 二阶行列式，记作 也称为方程组的系数行列式。 行标 列标 (1,2) 元素 对角线法则: 例. 解方程组 解： 2. 三阶行列式 类似地，讨论三元线性方程组 为三阶行列式, 记作 称 对角线法则： 例： §2 全排列与逆序数 定义1：把 n 个不同的元素排成的一列, 称为这 n 个元素的一个全排列, 简称排列。 把 n 个不同的元素排成一列, 共有 Pn个排列。 P3 = 3×2×1 = 6 例如：1, 2, 3 的全排列 123，231，312，132，213，321 共有3×2×1 = 6种，即 一般地，Pn= n·(n-1)·…·3·2·1= n! P3 = 3×2×1 = 6 标准次序：标号由小到大的排列。 定义2： 在n个 元素的一个排列中，若某两个元素 排列的次序与标准次序不同，就称这两个 数构成一个逆序，一个排列中所有逆序的 总和称为这个排列的逆序数。 一个排列的逆序数的计算方法： 设 p1 p2 … pn 是 1，2，…，n 的一个排列， 用 ti 表示元素 pi 的逆序数，即排在 pi 前面并比 t = t1 + t2 + … + tn pi 大的元素有 ti 个，则排列的逆序数为 例4：求排列 32514 的逆序数。 解： 逆序数为奇数的排列称为奇排列。 逆序数为偶数的排列称为偶排列。 例如：123 t = 0 为偶排列， 312 t = 2 为偶排列。 321 t = 3 为奇排列， §3 n 阶行列式的定义 观察二、三阶行列式，得出下面结论： 每项都是处于不同行不同列的n个元素的乘积。 2. n 阶行列式是 n！项的代数和。 3. 每项的符号都是由该项元素下标排列的奇偶性 所确定。 定义1： n! 项 的和 称为 n 阶行列式 (n≥1)，记作 例1：写出四阶行列式中含有因子 的项。 例2： 计算四阶行列式 D = acfh + bdeg – adeh – bcfg 重要结论： (1) 上三角形行列式 (2) 下三角形行列式 (3) 对角行列式 (4) 副对角行列式 行列式的等价定义 §5 行列式的性质 称 DT 为 D 的转置行列式。 设 则 D 经过“行列互换”变为 DT 性质1：行列式与它的转置行列式相等。 证明：设 则 由行列式定义 性质2：互换行列式的两行 ( 列 )，行列式变号。 互换 s、t 两行： 互换 s、t 两列： “运算性质” 推论：若行列式有两行（列）相同， 则行列式为 0 。 性质3：用非零数 k 乘行列式的某一行（列）中 所有元素，等于用数 k 乘此行列式。 “运算性质” 用 k 乘第 i 行： 用 k 乘第 i 列： 推论：行列式中某一行（列）的公因子可以提到 行列式符号外面。 性质4：若行列式有两行（列）的对应元素成比 例，则行列式等于0 。 性质5：若某一行是两组数的和，则此行列式就等 于如下两个行列式的和。 性质6：行列式的某一行（列）的所有元素乘以同 一数 k 后再加到另一行（列）对应的元素 上去，行列式的值不变。 用数 k 乘第 t 行加到第 s 行上： 用数 k 乘第 t 列加到第 s 列上： “运算性质” 利用行列式性质计算： （化为三角形行列式） 例1：计算 例2：计算 “行等和”行列式 例10：设 证明： 证明：利用行的运算性质 r 把 化成下三角形， 再利用列的运算性质 c 把 化成下三角形， 对 D 的前 k 行作运算 r，后 n 列作运算 c, 则有 例 §6 行列式按行(列)展开 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式. 本节主要考虑如何用低阶行列式来表示高阶行列式. 一、引言 结论 三阶行列式可以用二阶行列式表示. 思考题 任意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示？ 例如 把 称为元素 的代数余子式． 在n 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列划后，留下来的n－1阶行列式叫做元素 的余子式，记作 . 结论 因为行标和列标可唯一标识行列式的元素，所以行列 式中每一个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式. 引理 一个n 阶行列式，如果其中第 行所有元素除 外