线性代数(dong)课件.pptx

线性代数（dong）;二元、三元等简单的线性方程组. 但是，从许多实践或理论问题里导出的线性方程组常常含有相当多的未知量，并且未知量的个数与方程的个数也不一定相等.;第一章 行列式;§1 二阶与三阶行列式;一、二元线性方程组与二阶行列式;求解公式为;其求解公式为;二阶行列式的计算 ;二元线性方程组 ;例1 ;二、三阶行列式;三阶行列式的计算 ;例2 计算行列式 ;方程左端;引例;问题 把 n 个不同的元素排成一列，共有多少种不同的 排法？;;定义 排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.;例1：;§3 n 阶行列式的定义;一、概念的引入;所以，三阶行列式可以写成 ;二、n 阶行列式的定义;思考题： 成立吗？;定理2 n 阶行列式也可定义为 ;1. 对换改变排列奇偶性．;例1 试判断 和;;解：;;四个结论：;;思考题;故 的系数为－1.;§5 行列式的性???;一、行列式的性质;性质1 行列式与它的转置行列式相等.;性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.;性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个倍数 ，等于用数 乘以此行列式.;推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．;验证;性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和, 例如：;验证;性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．;例１;;;;;;例2 计算 阶行列式; (行列式中行与列具有同等的地位, 凡是对行成立的性质对列也同样成立).;计算4阶行列式 ;思考题解答;§6 行列式按行(列)展开;一、引言;例如 ;引理 一个n 阶行列式，如果其中第 行所有元素除 外都为零，那么这行列式等于 与它的代数余子式的乘积，即 ．;即有;二、行列式按行（列）展开法则;同理可得;例 计算行列式;;推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即;;例 设 , 的 元的余子式和 代数余子式依次记作 和 ，求;解;;提示：用数学归纳法;§7 克拉默法则;二元线性方程组 ;一、克拉默法则;其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即;定理中包含着三个结论：;关于克拉默法则的等价命题;例 解线性方程组;;线性方程组;齐次线性方程组的相关定理;练习题：问 取何值时，齐次方程组;思考题;1. 用克拉默法则解线性方程组的两个条件;第二章 矩阵及其运算;§1 矩阵;√;;其中aij 表示工厂向第 i 家商店 发送第 j 种货物的数量． ; 由 m×n 个数 排成的 m 行 n 列的数表;简记为;;行数与列数都等于 n 的矩阵，称为 n 阶方阵．可记作 . 只有一行的矩阵 称为行矩阵(或行向量) . 只有一列的矩阵 称为列矩阵(或列向量) . 元素全是零的矩阵称为零距阵．可记作 O .; 形如 的方阵称为对角阵． 特别的，方阵 称为单位阵．;同型矩阵与矩阵相等的概念;注意：不同型的零矩阵是不相等的.;表示一个从变量 到变量 线性变换， 其中 为常数.;;例 线性变换 ;;§2 矩阵的运算;例 某工厂生产四种货物，它在上半年和下半年向三家商店 发送货物的数量可用数表表示：;解：工厂在一年内向各商店发送货物的数量;一、矩阵的加法;知识点比较;;设工厂向某家商店发送四种货物各 l 件，试求：工厂向该商 店发送第 j 种货物的总值及总重量．;;二、数与矩阵相乘;;知识点比较;其中aij 表示工厂向第 i 家商店 发送第 j 种货物的数量． ;;可用矩阵表示为;一、矩阵与矩阵相乘;例：设;知识点比较;例;矩阵乘法的运算规律 ;(5) 矩阵的幂 若 A 是 n 阶方阵，定义;四、矩阵的转置;转置矩阵的运算性质;例：已知;解法2;