线代第一节.ppt

;二、课程特点： 一个中心——求解线性方程组 一种工具——矩阵（行列式、向量） ; 要注意预习、复习； 及时独立完成作业 练习册5元一本 汇款账号：6235 7260 0000 0083 ?336。户名：宋允全。银行：中国银行。 ??????领取时间：2016年9月9日（星期五）上午9：00-11:30，下午2:00-4:30到文理楼276领取线性代数练习册。 ??????领取地点：文理楼276 多思考、多做习题； 注意培养自己的解理论证明题的能力。 五、参考书目： 《线性代数学习指导》等辅导书。; 本章介绍 排列的一些性质； n 阶行列式的定义、性质和计算； 克莱姆法则。 学习重点： 行列式的性质和计算。;一、全排列及其逆序数; 我们规定各元素之间有一个标准次序, 于是，在这些元素的任一排列中，某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有1个逆序。;定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的 逆序数.;例1 求排列3421的逆序数。;二、对换的定义;定理1　一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性．;当 时，;次相邻对换;推论;;用消元法解二元线性方程组;方程组的解为; 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排 称列）的数表;主对角线;;;;则二元线性方程组的解为;对角线法则;1）右边的每一项都恰是三个元素的乘积，这 三个元素位于行列式的不同的行、不同的列； 2）等式右端的任一项除符号外可以写成 ， 这里行标成标准排列123，列标 是1,2,3 三个数的某个排列，等式右端共有6(=3!)项。 3）各项的符号确定：带正号的三项列标排列是：123， 231，312 都是偶排列；带负号的三项列标排列是： 132，213，321 都是奇排列。因此各项的符号可以表示为 ，其中t为列标排列的逆序数。 ; 其中t为列标排列 的逆序数，∑表示对1，2，3三个数的所有排列取和。; 其中 为自然数1,2,…,n的一个排列，t 为这个排列的逆序数，∑表示对1，2，…，n 的所有排列取和。;关于定义,提请注意以下几点：;例3 证明对角行列式; ;证明下（上）三角行列式;??明下三角行列式;3. 列顺序表示法：;证 设有乘积项;定理2 (列顺序表示法) n 阶行列式也可定义为 其中 s 为行标排列 的逆序数。;证 由定义，有 ， 记 。 易知对于D中任一项 ，在D1中 总有且只有一项与其对应并相等，反之亦然。也 即D与D1中的项一一对应并相等，从而 D= D1。;1. 在6 阶行列式中， 的项应带什么符号？;2. 证明 若行列式中有一行（或一列）元素全 为0，则行列式等于0。;3. 证明：在一个 n 阶行列式中，如果等于零的元 素个数大于 ，那么这行列式等于零。 ;证 对 的任一个排列 来说，必然有一个排列 与之对 应（后者仅是由前者将 对换而得），若其 中一个为偶排列，另一个必然为奇排列，反之亦 然，故在全部排列中，奇偶排列两两配对，从而 奇偶排列的个数必然相等，各为 。;§3 行列式的性质 ; 性质1 行列式与它的转置行列式相等。; 性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号。 以后记;把 交换两行后所得的行列式记为;于是;;性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例， 则此行列式为零。;本讲小结;