2018年高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 第23讲 解三角形应用举例实战演练 理.docVIP

PAGE  PAGE 3 2018年高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 第23讲 解三角形应用举例实战演练 理 1．(2014·浙江卷)如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小(仰角θ为直线AP与平面ABC所成角)．若AB＝15 m，AC＝25 m，∠BCM＝30°，则tan θ的最大值是(　D　) A．eq \f(\r(30),5)　　　　 B．eq \f(\r(30),10)　　　　 C．eq \f(4\r(3),9)　　　　 D．eq \f(5\r(3),9) 解析：由题意，在△ABC中，sin∠ACB＝eq \f(AB,AC)＝eq \f(15,25)＝eq \f(3,5)， 则cos∠ACB＝eq \f(4,5).作PH⊥BC，垂足为H，连接AH，如图所示． 设PH＝x，则CH＝eq \r(3)x，在△ACH中，由余弦定理得 AH＝eq \r(AC2＋CH2－2AC·CH·cos∠ACB) ＝eq \r(625＋3x2－40\r(3)x)， tan∠PAH＝eq \f(PH,AH)＝eq \f(1,\r(\f(625,x2)－\f(40\r(3),x)＋3))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)0))， 故当eq \f(1,x)＝eq \f(4\r(3),125)时，最大值为eq \f(5\r(3),9). 2．(2015·湖北卷)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝100eq \r(6) m. 解析：依题意有AB＝600，∠CAB＝30°，∠CBA＝180°－75°＝105°，∠DBC＝30°，DC⊥CB．∴∠ACB＝45°， 在△ABC中，由eq \f(AB,sin∠ACB)＝eq \f(CB,sin∠CAB)，得eq \f(600,sin 45°)＝eq \f(CB,sin 30°)， 有CB＝300eq \r(2)，在Rt△BCD中，CD＝CB·tan 30°＝100eq \r(6)，则此山的高度CD＝100eq \r(6) m. 3．(2011·上海卷)在相距2千米的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C之间的距离为eq \r(6)千米． 解析：∠ACB＝180°－75°－60°＝45°，由正弦定理得eq \f(AC,sin 60°)＝eq \f(AB,sin 45°)＝eq \f(2,sin 45°)，AC＝eq \r(6) 千米． 4．(2013·江苏卷)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C． 现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，cos A＝eq \f(12,13)，cos C＝eq \f(3,5). (1)求索道AB的长； (2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ (3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 解析：(1)在△ABC中，因为cos A＝eq \f(12,13)，cos C＝eq \f(3,5)，所以sin A＝eq \f(5,13)，sin C＝eq \f(4,5). 从而sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝eq \f(5,13)×eq \f(3,5)＋eq \f(12,13)×eq \f(4,5)＝eq \f(63,65). 由eq \f(AB,sin C)＝eq \f(AC,sin B)，得AB＝eq \f(AC,sin B)×sin C＝eq \f(1 260,\f(63,65))×eq \f(4,5)＝1 040(m)． 所以索道AB的长为1 040 m. (2)设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d m，此时