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PAGE  PAGE 37 第六章 微分方程及其应用 本章知识结构导图 §6.1 微分方程的简介 微分方程是一门具有悠久历史的学科, 几乎与微积分同时诞生于1676年前后, 至今已有300多年的历史了. 在微分方程发展的初期, 人们主要是针对实际问题提出的各种方程, 用积分的方法求其精确的解析表达式, 这就是人们常说的初等积分法. 这种研究方法一直延续到1841年前后, 其历史有160多年. 促使人们放弃这一研究方法的原因, 归结1841年刘维尔(Liouville 1809-1882)的一篇著名论文, 他证明了大多数微分方程不能用初等积分法求解. 在刘维尔这一工作之后, 微分方程进入了基础定理和新型分析方法的研究阶段. 如19世纪中叶, 柯西等人完成了奠定性工作（解的存在性和唯一性定理）, 以及拉格朗日等人对线性微分方程的系统性研究工作; 到19世纪末, 庞加莱和李雅普诺夫分别创立了微分方程的定性理论和稳定性理论, 这代表了一种崭新的研究非线性方程的新方法, 其思想和作法一直深刻地影响到今天. 微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法. 物理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的微分方程, 如牛顿的运动定律、万有引力定律、机械能守恒定律, 能量守恒定律、人口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗传基因变异、股票的涨幅趋势、利率的浮动、市场均衡价格的变化等, 对这些规律的描述、认识和分析就归结为对相应的微分方程描述的数学模型的研究. 因此, 微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学, 而且越来越多的应用于社会科学的各个领域. 早在十七世纪至十八世纪, 微分方程作为牛顿力学的得力助手, 在天体力学和其它机械力学领域内就显示了巨大的功能, 比如科学史上有这样一件大事足以显示微分方程的重要性, 那就是在海王星被实际观测到之前, 这颗行星的存在就被天文学家用微分方程的方法推算出来了. 时至今日, 微分方程在自然科学以及社会科学中越来越表现出它的重要作用. 在长期不断的发展过程中, 微分方程一方面直接从与生产实践联系的其他科学技术中汲取活力, 另一方面又不断以全部数学科学的新旧成就来武装自己, 所以微分方程的问题越来越显得多种多样、而方法也越来越显得丰富多彩. 在本章, 将简要介绍利用微分方程结合实际问题建立数学模型, 了解微分方程的基本概念, 并研究常见的一阶微分方程与二阶常系数线性微分方程的解法, 最后例举几个微分方程在经济领域中的应用例子. §6.2 利用微分方程建立数学模型 利用数学手段研究自然现象和社会现象, 或解决工程技术问题, 一般需要先对问题建立数学模型, 再对它进行分析求解或近似计算, 然后按实际的要求对所得的结果作出分析和探讨. 数学模型最常见的表达方式, 是包含自变量和未知函数的函数方程, 但是很多情形这类方程还包含未知函数的导数（或微分）, 它们就是微分方程. 本节将介绍几个典型的利用微分方程建立数学模型的例子. 一、种群增长的马尔萨斯（Malthus）模型 这里要介绍的种群增长模型是基于理想条件下（无局限的环境, 充足养分,无自然灾害）来建立的, 于是仅考虑种群增长率只与自然出生率与自然死亡率有关, 即种群增长率和种群数量成正比. 设时刻的种群个体数量为,种群增长率为导数, 现仅考虑自然出生率和自然死亡率对它的影响，则假设种群增长率和种群数量成正比， 于是可表示成如下数学模型: (1) 其中比例常数, 为自然出生率, 为自然死亡率, 方程（1）是种群增长的最简单模型, 即马尔萨斯（Malthus）模型, 该模型当然是一个微分方程. 下面来求解方程（1）, 方程（1）要求找到这样一个函数, 它的导数是它本身的常数倍. 我们知道指数函数具有这个特点, 令,有, 即任何形如的指数函数都是方程（1）的解. 在§6.3我们将知道方程（1）没有其他解. 考虑到实际意义（, ）, 方程（1）得到解的函数族，图形如图6.1所示. 方程（1）是在理想条件下的种群增长模型, 它只能反映种群增长初期的增长情况, 当种群数量接近承载能力时, 增长率会下降, 这是因为在