【高考数学必看】-用向量方法证明平行与垂直(理).docVIP

9-7用向量方法证明平行与垂直(理) 基础巩固强化 1.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为侧面CC1D1D的中心．若→＝z→＋x→＋y→，则x＋y＋z的值为(　　) A．1　　　　B.32　　 　C．2　　　　D.34 [答案]　C [解析]　∵→＝→＋→＝→＋12→＋12→. ∴x＋y＋z＝1＋12＋12＝2. 2．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的可能是(　　) A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0) B．a＝(1,3,5)，n＝(1，－2,1) C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1) D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3，－1) [答案]　B [解析]　欲使l∥α，应有n⊥a，∴n·a＝0，故选B. 3．二面角α－l－β等于60°，A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝a，BD＝2a，则CD的长等于(　　) A.3a B.5a C．2a D．a [答案]　C [解析]　如图．∵二面角α－l－β等于60°， ∴→与→夹角为60°. 由题设知，→⊥→，→⊥→，|→|＝|→|＝a，|→|＝2a， |→|2＝|→＋→＋→|2＝|→|2＋|→|2＋|→|2＋2→·→＋2→·→＋2→·→＝4a2，∴|→|＝2a. 4．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(4,5，x)，若a、b、c三向量共面，则|c|＝(　　) A．5 B．6 C.66 D.41 [答案]　C [解析]　∵a、b、c三向量共面， ∴存在实数λ、μ，使c＝λa＋μb， ∴(4，－5，x)＝(2λ－μ，－λ＋4μ，3λ－2μ)， ∴2λ－μ＝4，－λ＋4μ＝5，3λ－2μ＝x.∴x＝5， ∴|c|＝42＋52＋52＝66. 5．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E、F分别是BC、AD的中点，则→·→的值为(　　) A．a2 B.12a2 C.14a2 D.3)4a2 [答案]　C [解析]　→·→＝12(→＋→)·12→ ＝14(→·→＋→·→) ＝14(a2cos60°＋a2cos60°)＝14a2. 故选C. 6．将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，若点P满足→＝12→－12→＋→，则|→|2的值为(　　) A.32 B．2 C.2)4 D.94 [答案]　D [解析]　由题意，翻折后AC＝AB＝BC， ∴∠ABC＝60°，∴|→|2＝|12→－12→＋→|2 ＝14|→|2＋14|→|2＋|→|2－12→·→－→·→＋→·→＝14＋14＋2－12×1×1×cos60°－1×2cos45°＋1×2×cos45°＝94. 7．(2012·河南六市联考)如图，在平行四边形ABCD中，→·→＝0,2→ 2＋→ 2＝4，若将其沿BD折成直二面角A－BD－C，则三棱锥A－BCD的外接球的体积为________． [答案]　43π [解析]　因为AB⊥BD，二面角A－BD－C是直二面角，所以AB⊥平面BCD，∴AB⊥BC，AD⊥DC.故△ABC，△ADC均为直角三角形．取AC的中点M，则MA＝MC＝MD＝MB，故点M即为三棱锥A－BCD的外接球的球心．由2→2＋→2＝4?→2＋→2＋→2＝→2＝4，∴AC＝2，∴R＝1.故所求球的体积为V＝43π. 8．(2011·金华模拟)已知点A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C为线段AB上一点且AC→)AB→)＝13，则点C的坐标为________． [答案]　(103，－1，73) [解析]　∵C为线段AB上一点， ∴存在实数λ0，使→＝λ→， 又→＝(－2，－6，－2)，∴→＝(－2λ，－6λ，－2λ)， ∵AC→)AB→)＝13，∴λ＝13，∴→＝(－23，－2，－23)， ∴C(103，－1，73)． 9.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别是棱BC、DD1上的点，如果B1E⊥平面ABF，则CE与DF的和的值为________． [答案]　1 [解析]　以D1为原点，直线D1A1、D1C1、D1D为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,1)，B(1,1,1)，B1(1,1,0)， 设DF＝t，CE＝k，则D1F＝1－t，∴F(0,0,1－t)，E(k,1,1)，要使B1E⊥平面ABF，易知AB⊥B1E，故只要B1E⊥AF即可， ∵→＝(－1,0，－t)，→＝(k－1,0,1)， ∴→·→＝1－k－t＝0，∴k＋t＝1，即CE＋DF＝1. 10.(2012·天津调研)如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝1