【高考聚焦】高数学(理)轮复习对点训练讲空间点线面的位置关系Word版含解析.docVIP

\a\vs4\al\co1( 第46讲　空间点、线、面的位置关系 ) 　1.(2013·山东省青岛市上期期末检测)已知a、b、c为三条不重合的直线，下面有三个结论：①若a⊥b，a⊥c，则b∥c；②若a⊥b，a⊥c，则b⊥c；③若a∥b，b⊥c，则a⊥c.其中正确的个数为( B ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 解析：①b，c可能异面，也可能垂直；②b，c可能异面，也可能平行，故选B. 　2.若直线l与平面α不平行，则下列结论正确的是( D ) A．α内的所有直线都与直线l异面 B．α内不存在与l平行的直线 C．α内的直线与l都相交 D．直线l与平面α有公共点 解析：A中过公共点的直线与直线l相交，不异面，A错误；B、C中l在α内时，α内有无数多条直线与l平行，B、C错误；直线l与平面α不平行，则直线l与α相交或在平面α内，即l与α有一个或无穷多个公共点，D正确，故选D. 　3.正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是线段C1D，BC的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是( A ) A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直 解析：因为A1B∥D1C，D1C∩EF＝E，又EF∥D1B，所以E，F，A1，B四点共面，所以EF与A1B相交，选A. 　4.(2012·唐山市高三上期期末统考)四棱锥P-ABCD的所有侧棱长都为5，底面ABCD是边长为2的正方形，则CD与PA所成角的余弦值为( A ) A.5)5 B.5)5 C.45 D.35 解析：因为CD∥AB，则CD与PA所成的角就是∠PAB，由余弦定理得 cos ∠PAB＝PA2＋AB2－PB22PA·AB＝5＋4－52×\r(5)×2＝5)5. 　5.(2013·浙江瑞安期末质检)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、P、Q分别是AB、AA1、C1D1、CC1的中点，给出以下四个结论：①AC1⊥MN；②AC1∥平面MNPQ；③AC1与PM相交；④NC1与PM异面．其中正确结论的序号是　①③④　. 解析：由图形可以观察出AC1与平面MNPQ相交于正方体中心，易知①③④正确． 　6.如图，ABCD-A1B1C1D1是长方体，其中AA1＝a，∠BAB1＝∠B1A1C1＝30°，则AB与A1C1所成的角为　30°　，AA1与B1C所成的角为　45°　. 解析：因为AB∥A1B1，所以∠B1A1C1是AB与A1C1所成的角，所以AB与A1C1所成的角为30°. 因为AA1∥BB1，所以∠BB1C是AA1与B1C所成的角． 由已知条件可以得出BB1＝a，AB1＝A1C1＝2a，AB＝3a， 所以B1C1＝a， 所以四边形BB1C1C是正方形，所以∠BB1C＝45°. 　7.(2012·泉州四校二次联考)四棱锥P-ABCD的顶点P在底面ABCD上的投影恰好是A，其正视图与侧视图都是腰长为a的等腰直角三角形，则在四棱锥P-ABCD的任意两个顶点的连线中，互相垂直的异面直线共有　6　对． 解析：因为四棱锥P-ABCD的顶点P在底面ABCD上的投影恰好是A，其正视图与侧视图都是腰长为a的等腰直角三角形，所以PA⊥BC，PA⊥CD，AB⊥PD，BD⊥PA，BD⊥PC，AD⊥PB，共6对． 　8.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是AD、AB的中点．求证：直线D1M、A1A、B1N三线共点． 证明：连接MN、B1D1、BD. 因为M、N分别是AD、AB的中点， 所以MN綊12BD. 又B1D1綊BD， 所以MN綊12D1B1. 所以四边形MNB1D1为梯形． 延长D1M、B1N相交于P点． 因为点P在直线D1M上， 所以点P在平面A1ADD1内． 同样，点P在平面A1ABB1内． 所以点P在平面A1ADD1和平面A1ABB1的交线A1A上， 故D1M、A1A、B1N三线共点． 　9.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别为A1B1，BB1，CC1的中点． (1)求异面直线D1P与AM所成的角； (2)求异面直线CN与AM所成角的余弦值． 解析：(1)连接A1N、NP. 由NP綊A1D1，知四边形A1NPD1为平行四边形， 所以A1N∥D1P， 所以AM与A1N相交所成锐角(或直角)即为异面直线D1P与AM所成之角． 在正方形A1ABB1中M为A1B1中点，N为B1B中点，由平面几何知识知AM⊥A1N. 所以异面直线D1P与AM所成之角为90°. (2)在平面ABB1A1内作NQ∥AM交AB于Q， 则∠QNC(或补角)为异面直线AM与CN所成之角． 连接CQ，因为AB＝1， 则BQ＝14，QC＝17)4，NC＝5)2，QN＝12AM＝5)4， cos ∠QNC＝NQ2＋NC2－QC22·NQ·NC＝551716\r(5\r