《空间向量的坐标运算》.docVIP

9.6空间向量的坐标运算(一) 教学目标： (一)教学知识点：空间直角坐标系及向量的坐标，向量的坐标运算. (二)能力训练要求: 1、理解空间直角坐标系中空间向量的坐标的确定原则. 2、掌握空间向量的坐标运算法则，并能准确进行计算. (三)德育渗透目标:培养探索思维能力和类比思维方法. 教学重点：确定空间向量的坐标,准确地进行向量的坐标运算. 教学难点：建立空间直角坐标系,写出向量和点的坐标. 教学过程 【讲授新课】 1．空间直角坐标系 单位正交基底:如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做 单位正交基底，常用{}表示． 建立三条数轴：x轴、y轴、z轴. 空间直角坐标系：O-xyz， 坐标轴：x轴、y轴、z轴， 原点：O点， 坐标向量：， 坐标平面： xOy平面， yOz平面，zOx平面 右手直角坐标系—右手拇指指向x轴正方向，食指指向y轴正方向，中指指向z轴正方向，这个坐标系为右手直角坐标系. 向量的坐标，点的坐标: 向量的坐标：给定一个空间向量坐标系和向量，且设为坐标向量，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组 (a1, a2, a3)， 使 ＝a1＋a2＋a3． 有序实数组(a1, a2, a3)叫做在空间坐标系O-xyz中的坐标． 简记＝(a1, a2, a3)．(＝) 点A的坐标： ＝x＋y＋z．(唯一确定) A(x, y, z) x——点A的横坐标，y——点A的纵坐标，z——点A的竖坐标． 2．向量的直角坐标运算 设=(a1,a2,a3), =(b1,b2,b3), 则 (1) += (a1＋b1, a2＋b2, a3＋b3)； (2) -= (a1－b1, a2－b2, a3－b3)； (3) ((a1, ( a2, (a3) ((∈R)； (4) a1b1＋a2b2＋a3b3 性质 ∥ a1＝(b1，a2＝(b2，a3＝(b3， ⊥ a1b1＋a2b2＋a3b3＝0． 向量的坐标与点的坐标的关系: 设A＝(x1, y1, z1)，B＝(x2, y2, z2)，则 ＝－＝(x2, y2, z2)－(x1, y1, z1)＝(x2－x1, y2－y1, z2－z1)． 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标． 例1 已知=(2,-3,5), =(-3,1,-4),求+,-,8,. 解: +=(2,-3,5)+(-3,1,-4)=(2-3,-3+1,5-4)=(-1,-2,1); -=(2,-3,5)-(-3,1,-4)=(2+3,-3-1,5+4)=(5,-4,9); 8=8(2,-3,5)=(8?2,8?(-3),8?5)=(16,-24,40); =(2,-3,5)?(-3,1,-4)=2?(-3)+(-3)?1+5?(-4)= -29. (注意: 数量积结果为实数) 练习 教科书P.43练习第6题 已知＝(－3, 2, 5)，＝(1, 5, －1)，求：⑴ ＋ ；⑵ － ；⑶ 6 ；⑷ · ． 教科书P.43练习第7题 已知＝(2, －3, 1)，＝(2, 0, 3)，＝(0, 0, 2)，求：⑴ ·(＋)；⑵ ＋6－8 ． 教科书P.43练习第1题 如图建立直角坐标系，已知正方体的棱长为2，求正方体各顶点的坐标． 练习 教科书P.43练习第3题 点B是点A (3, 4, 5)在坐标平面xOy内的射影，求| |． B (3, 4, 0) 例2 在正方体ABCD-A1B1C1D1 中， M、N分别为DD1、AB的中点，指出以＝， ＝，＝为坐标向量的空间直角坐标系中各向量的坐标： ① 、② 解：①∵ 点A1、B、D1的坐标分别为B(1, 1,0)、D1(0, 0, 1) , ∴＝(0, 1, －1)，＝(1, 1, －1)， ② ∴＝ 例3 如图已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点， 求证D1F⊥平面ADE． 证明：设已知正方体的棱长为1个单位长度， ＝，＝，＝． 以i、j、k为坐标向量建立空间坐标系D-xyz， 则＝＝(－1, 0, 0)， ·＝(－1, 0, 0)·＝0， ∴⊥．又＝ ·＝ ∴⊥． ∴D1F⊥AE．又AD∩AE＝A，∴D1F⊥平面ADE． 练习 教科书P.43练习第9题 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、D1B1的中点，求证EF⊥DA1． 练习 教科书P.43练习第8题 判定下列各题中的向量是否平行: ⑴ (1, 2, －2) 和 (－2, －4, 4)；⑵ (－2, 3, 5) 和 (16, －24, 40)． 【课堂小结】 1．空间直