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《线性代数A》强化训练题一解答 一、填充题 1. 正; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. 二、是非题 1. 2. 3. 4. 5. 三、设矩阵 矩阵满足 其中为的伴随矩阵, 是单位矩阵, 求 解: 由于 且易知 用右乘矩阵方程的两端, 有 即 所以 又因为 故 四、证明矩阵可逆, 并求其逆矩阵. 解: 对做如下分块 其中 因 因此可逆. 的逆矩阵分别为 所以逆阵为 五、设 其中为阶可逆矩阵, 求 解: 因为 利用分块矩阵的方幂 易知 从而 则由有 因此 故 六、设矩阵 求矩阵的列向量组的一个极大无关组, 并把不属于极大无关组的列向量用极大无关组线性表示. 解: 首先, 对作行初等变换化为行最简形矩阵: 知秩 因此列向量组的极大无关组含有个向量. 而三个非零行的非零首元在列, 也即为一个极大无关组. 由的行最简形矩阵, 有 七、取何值时, 方程组 (1) 有惟一解; (2) 无解; (3) 有无穷多解, 并求解. 解: 方程组的系数矩阵和增广矩阵为 . (1) 当且时, 所以方程组有惟一解 (2) 当时, 所以方程组无解. (3) 当时 方程组有无穷解. 得同解方程组 所以得通解为 八、试求一个正交变换 把下列二次型化为标准形 解: 得 时, 时, 时, 作正交变换 则 九、 设是阶矩阵的两个不同的特征值, 分别是的属于的特征向量, 证明不是的特征向量. 证：假设是的属于特征值的特征向量, 则 又 于是有 由于 所以与线性无关, 故 从而, 与矛盾. 故不是的特征向量. 十、设 且向量组线性无关, 证明向量组线性无关. 证：设 将的表示式代入, 即 因为线性无关, 故有 显然, 故线性无关. - 5 -