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§第三章 空间向量（复习1） 学习目标 1. 掌握空间向量的运算及其坐标运算； 2. 立体几何问题的解决──熟练掌握向量是很好的工具. 预习案 自学园地 一、课前准备 （预习教材P115－116，找出惑之处） 复习1：如图，空间四边形中，.点M在OA上，且OM=2MA, N为BC中点，则 复习2：平行六面体中， ，点P,M,N分别是 的中点，点Q在上，且,用基底 表示下列向量： ⑴ ; ⑵ ; ⑶ ; ⑷ . 探究案 ※合作探究——主要知识点： 1. 空间向量的运算及其坐标运算： 空间向量是平面向量的推广, 有关运算方法几乎一样,只是“二维的”变成 “三维的”了. 2. 立体几何问题的解决──向量是很好的工具 ①平行与垂直的判断 ②角与距离的计算 ※ 合作探究——典型例题： 例1 如图,一块均匀的正三角形面的钢板的质量为，在它的顶点处分别受力、、，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的夹角都是，且.这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动？这三个力最小为多大时，才能提起这块钢板？ 变式：上题中，若不建立坐标系，如何解决这个问题？ 小结：在现实生活中的问题，我们可以转化我数学中向量的问题来解决，具体方法有坐标法和直接向量运算法，对能建立坐标系的题，尽量使用坐标计算会给计算带来方便. 例2 如图，在直三棱柱中，,点M是的中点，求证：. 变式：正三棱柱的底面边长为1，棱长为2，点M是BC的中点，在直线上求一点N，使. 例3 如图，长方体中，点E,F分别在上，且,. ⑴ 求证：平面; ⑵ 当时，求平面与平面所成的角的余弦值. ※ 当堂检测 练1. 如图，正三棱柱的底面边长为，侧棱长为. ⑴试建立适当的坐标系，写出点的坐标 ⑵求的侧面所成的角. 练2. 已知点A(1,-2,0),向量，求点B的坐标，使得，且. 三、总结提升 ※ 学习小结 1. 空间向量的运算与平面向量的方法相同； 2. 向量的数量积和平面的法向量是向量解决立体几何问题常用的方法. ※ 知识拓展 若二面角两个面的法向量分别是，二面角为 则，而 练习案 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 必做题（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1.已知，且，则k＝ ； 2. 已知，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 3.空间两个单位向量与的夹角都等于，则 4.将正方形沿对角线折成直二面角后，异面直线所成角的余弦值为 . 5. 正方体的棱长为，,N是的中点，则＝（ ） A. B. C. D. 选做题 1. 如图，在棱长为1的正方体中，点分别为的中点. ⑴ 求证：; ⑵ 求与所成角的余弦值； ⑶ 求的长. 第三章 [基础训练A组] 一、选择题 1．下列各组向量中不平行的是（ ） A． B． C． D． 2．已知点，则点关于轴对称的点的坐标为（ ） A． B． C． D． 3．若向量，且与的夹角余弦为，则等于（ ） A． B． C．或 D．或 4．若A，B，C，则△ABC的形状是（ ） A．不等边锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 5．若A，B，当取最小值时，的值等于（ ） A． B． C． D． 6．空间四边形中，，，则=（ ） A． B． C．－ D． 二、填空题 1．若向量，则__________________。 2．若向量，则这两个向量的位置关系是___________。 3．已知向量，若，则______；若则______。 4．已知向量若则实数______，_______。 5．若，且 ，则与的夹角为____________。 6．若，，是平面内的三点，设平面的法向量，则________________。 7．已知空间四边形，点分别为的中点，且，用，，表示，则=_______________。 8．已知正方体的棱长是，则直线与间