§倾斜角与斜率.docVIP

教师寄语：不要对挫折叹气，姑且把这一切看成是在你成大事之前，必须经受的准备工作。 §3.1.1　倾斜角与斜率 [学习要求] 1．理解直线的斜率和倾斜角的概念； 2．理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性； 3．了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率． [学法指导] 通过直线的斜率及斜率与倾斜角关系的学习，培养观察、探索和抽象概括能力；通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，进一步理解数形结合思想. 一. 预习案 ---“我学习，我主动，我参与，我收获！” 1．倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时，我们取 作为基准， 正向与直线l 之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．特别地，当直线l与x轴平行或重合时，规定α＝ . 2．斜率的概念：我们把一条直线的倾斜角α的 值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示,即 . 3．倾斜角与斜率的对应关系 图示 倾斜角α (范围) α＝ α＝ 斜率k (范围) 二. 探究案 --- 我思考、我收获 [问题情境] 在平面直角坐标系中，点用坐标表示，直线如何表示呢？为了用代数方法研究直线的有关问题，本节首先探索确定直线位置的几何要素——倾斜角与斜率． 探究点一　直线的倾斜角及斜率的概念 问题1　我们知道，经过两点有且只有(确定)一条直线，过一点P可以作无数条直线，它们都经过点P，这些直线区别在哪里呢？ 问题2　怎样描述直线的倾斜程度呢？ 问题3　依据倾斜角的定义，你能得出倾斜角α的取值范围吗？ 问题4　任何一条直线都有倾斜角吗？ 不同的直线其倾斜角一定不相同吗？ 只有倾斜角能确定直线的位置吗？ 你认为确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是什么？ 问题5　日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？ 问题6　如果我们使用“倾斜角”这个概念表示“坡度(比)”，那么“坡度(比)”等于什么呢？ 小结　我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α.由此可知，一条直线l的倾斜角α一定存在，但是斜率k不一定存在，倾斜角是90°的直线没有斜率． 探究点二　直线的斜率公式 导引　有了斜率的概念，这还不能体现是直线上的点所满足的等量关系，任给直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，(其中x1≠x2)，那么这条直线唯一确定，进而它的倾斜角与斜率也就确定了，这说明直线的斜率与这两点的坐标有内在联系．那么这种联系是什么呢？ 问题1　如下图1、图2，任给直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)，过点P1作x轴的平行线，过点P2作y轴的平行线，两线相交于Q，那么Q点的坐标是什么？ 图1 图2 问题2　设直线P1P2的倾斜角为α(α≠90°)，那么在Rt△P1P2Q中，哪一个角等于α？ 问题3　根据斜率的定义，通过构造直角三角形推算出斜率公式是什么？ 问题4　当P2P1的方向向上时，tan α＝y2－y1x2－x1成立吗？为什么？ 问题5　当直线P1P2与x轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？ 小结　经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式k＝y2－y1x2－x1. 例1　如图，已知A(3,2)，B(－4,1)，C(0，－1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角． 小结　应用斜率公式时应先判定两定点的横坐标是否相等，若相等，直线垂直于x轴，斜率不存在；若不相等，再代入斜率公式求解． 跟踪训练1　求经过下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角． (1)(1,1)，(2,4)； (2)(－3,5)，(0,2)； (3)(2,3)，(2,5)； (4)(3，－2)，(6，－2)． 例2　在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，－1，2及－3的直线l1，l2，l3及l4. 小结　已知直线过定点且斜率为定值，那么直线的位置就确定了，要画出直线，需通过斜率求出另一定点． 跟踪训练2　已知点P(－3，1)，点Q在y轴上，直线PQ的倾斜角为120°，则点Q的坐标为________． 三．课堂小结--- “我归纳，我总结，我升华！” 1．利用直线上两点确定直线的斜率，应从斜率存在、不存在两方面入手分类讨论，斜率不存在的情况在解题中容易忽视，应引起注意． 2．三点共线问题：(1)已知三点A，B，C，若直线AB，AC的斜率相同，则三点共线；(2)三点共线问题也可利用线段相等来求