强化反比例函数应用教学的尝试.docVIP

反比例函数用处多 长期以来，我们对初中阶段所学习的三类函数：一次函数、二次函数、反比例函数中的二次函数情有独钟，进行了大量的研究和探讨，开拓了很多有新意的好题.但往往忽略了反比例函数在教与学的过程中的作用，导致许多高中学生在处理诸如求函数值域、解简单的分式不等式、讨论函数的单调性的问题时出现许多不应有的烦琐与错误.现代教育理论告诉我们：只有用最接近学生的认知水准的方式引导他们，才能使其更有效学好新知识、解决新问题.通过近几年的教学实践，我认为在初、高中函数教学的衔接处，加强反比例函数应用的教学，无论是帮助学生掌握“数形结合”的思想方法，还是引导学生在处理问题时避免不必要的繁杂计算方面都是大有裨益的. 利用反比例函数处理与不等式有关的问题： 问题1.解不等式：-2≤3，对于此问题许多高一学生都采用各边取倒数的 方式,但误解为：{x|x≤}. 若转化为 虽可解，但有一定的计算量. 若利用反比例函数y=的图象来处理则极易得到 正确答解{x|x或x≥}.如图（1）. 类似地还可解：-34-34-43，令x-1=t则可得： t或t1{x|x或x2}. 问题2.若ab，且ab0时，则.此问题我们的常规推导方式为：由-=，∵ab ∴b-a0，则当ab0时.这个问题若从反比例函数的角度来处理也非常容易：∵ 函数y=在（-∞，0）及（0，+∞）上分别是减函数，但在（-∞，+∞）不具备单调性，∴只有a、b同号即ab＞0时才有：若ab，则.这样学生理解起来既形象又简单. 的函数的值域. 问题3.求函数y=的值域. 分析：此问题的一般解法为判别式法，学生在转化上不易想到，且理解上也存在一定的困难，若令t=x2+x-1≥-，则利用反比例函数y=的图象易得： {y|y≤-或y0}. 问题4.求函数y=的值域. 分析：函数y=可变形为，y=2-，令t= x2+x-1≥-，利用反比例函数u=-，可得u≥或u0，从而可得{ y|y≥或y2}. 问题5.已知函数y=的值域为[-1，4]，求a、b的值. 分析：（1）当ax+b=0时，y=0满足条件； （2）当ax+b≠0时，令ax+b=t，x=（由已知a≠0，否则由上述问题3知其值域不可能是[-1，4]）， 则 y=， ∵u=-2b∈（-∞，--2b]∪[-2b，+∞）， 利用反比例函数y=可得y∈[，] =-1且=4a=±4且b=3. 此种解法虽然计算量大一些，但学生易于理解，便于掌握.若用判别式法，虽然计算量小一些，但转化生涩，学生不易理解，且还要考虑检验端点、分二次项的系数是否为零来分类讨论等繁杂步骤.再如求函数y=的值域用此法极易求得：y∈[]. 一般来说，对于求形如： （a、a不同时为0）的函 数值域的问题，①若a= b=0时即为上述问题3型；②若 a∶a= b∶b时 即为上述问题4型；③若a=0时即为上述问题5型（利用函数y=x+，a ≠0 的单调性）；④若a≠0，则可先分离常数后转化为问题5型求解. 三.利用反比例函数讨论函数的单调性 问题6.若函数在（-∞，-3）上单调递减，求a的取值范围. 分析：∵，将其与函数y=的单调性类比知a为所求. 问题7.求函数的单增区间. 分析：∵ 令u=，t=x2+x+20， 由于u是t的减函数 ∴函数的单增区间即为t=x2+x+2的单减区间， 故x∈（-]为所求. 另外利用反比例函数y=（k≠0）图象的平移变换，还易得函数的单调区间为（-∞，-），（-，+∞）；值域为y∈{y∈R|y≠}；对称中心为 (，)等结论. 1 x y o -2 3 图1(1) -2 ≤3