《空间向量的标准正交分解与坐标表示》导学案.pptVIP

* 导 学 固 思 . . . * 导 学 固 思 . . . 第3课时 空间向量的标准正交分解与坐标表示 1.了解空间向量的基本定理及其意义,能将空间向量表示为坐标轴上单位向量的线性组合,掌握空间向量的坐标表示. 2.掌握空间向量的加法、减法、数乘及数量积运算的坐标表示. 3.掌握空间向量平行、垂直关系的坐标表示,能够运用坐标运算证明空间中两个向量的平行和垂直,能应用坐标运算,解决有关共面、共线向量的坐标问题. 4.掌握两个向量的夹角与向量长度的坐标计算公式. 基底 问题1 基向量 不公面 3i+2j+5k -3i+2j+5k xi+yj+zk 单位向量 问题2 问题3 (a1+b1,a2+b2,a3+b3) (a1-b1,a2-b2,a3-b3) a1b1,a2b2,a3b3 a1b1+a2b2+a3b3=0 a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R) (λa1,λa2,λa3)(λ∈R) (x2-x1,y2-y1,z2-z1) 问题4 已知{a,b,c}是空间的一个基底,则下列各组中能构成空间一个基底的是(　　). A.2a,a-b,a+2b　　B.2b,b-a,b+2a C.a,2b,b-c D.c,a+c,a-c 【解析】∵2(a-b)+(a+2b)=3a与2a共线,∴2a,a-b,a+2b共面,故A中的向量不能构成空间的一个基底.同样地B、D中的三个向量也是共面向量,故B、D中的向量也不能作为一组基底,而a,2b,b-c不共面,故可以作为空间中的一组基底,所以选C. 1 C 已知a=(cos α,1,sin α),b=(sin α,1,cos α),则向量a+b与a-b的夹角是　　　　.? 【解析】由于(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2 =cos2α+1+sin2α-(cos2α+1+sin2α)=0,所以(a+b)⊥(a-b),故两者的夹角为90°. 2 D 3 90。 4 C 利用坐标运算解答空间向量的平行与垂直问题 已知a=(1,5,-1),b=(-2,3,5). (1)若(ka+b)⊥(a-3b),求k的值. (2)若(ka+b)∥(a-3b),求k的值. 7 [问题]上述解法正确吗? 已知向量a=(-2,2,0),b=(-2,0,2),求单位向量n,使n⊥a,且n⊥b. D B * * 导 学 固 思 . . . * 导 学 固 思 . . . *