矩陣论应用线性定常系统的自由运动稳定性的判据.docVIP

矩阵论应用——线性定常系统的自由运动稳定性的判据 王菊花 （控制科学与工程学院 控制理论与控制工程专业 2009010202） 摘要：本文主要是将所学的矩阵论知识与本专业内容（线性系统）有效的结合起来，系统全面的介绍了线性定常系统的自由运动的稳定性判据，尤其是如何应用矩阵论知识解决稳定性的判定问题，而后给出了应用举例，最后对所应用矩阵论知识做出应用小结。 一、前提知识：自治系统 受扰运动 平衡状态 稳定性问题 1．自治系统： 设系统的状态方程为 式中为维状态向量，为维向量函数，其中为状态分量和时间的连续可微单值有界函数。若(1)式的右边与无关，即 (无外输入作用)，则称这样的系统为自治系统。 状态解： 当初始条件给定时，假如系统(1)有唯一解 式中为初始时刻，为观测时间，为状态向量的初始值，即为时的，有 2．平衡状态： 系统(1)若对于所有，存在状态向量，使得则称此状态向量为系统(1)的平衡状态或平衡点。 系统平衡状态可以为零()，也可不为零()，但对任意总可引入一个新状态，经一定的坐标变换，把它化到坐标原点（即零状态）。 对线性定常系统，有 如果A为非奇异，则(2)只存在惟一的平衡状态；若A为奇异的，则(2)存在多个平衡状态。在线性系统的稳定性分析中，总是把平衡状态设为状态空间原点。 3.稳定性问题： 稳定性是指系统的状态解（常称“运动”）是否能趋于平衡状态解的问题。若系统的状态解能回复到平衡状态，则称此系统是稳定的。如果系统的状态解虽然不能最终回复到平衡状态，而是在平衡状态的某一邻域内呈现自激振荡，而这种振荡又为实际系统所允许，那么也应把这种系统称之为稳定的。反之称为不稳定的。基此，下面运用李亚普诺夫矩阵方程的方法来判定线性定常系统的稳定性。 二、线性定常系统的稳定性判据 考察维线性定常自治系统 状态空间原点是它的一个平衡状态。 李亚普诺夫判据：线性定常系统(3)的零平衡状态为渐近稳定的充分必要条件是对任意给定的一个正定对称矩阵Q，如下形式的李亚普诺夫矩阵方程 有唯一正定对称矩解阵P。 证明： 先证充分性。已知解阵P正定，欲证渐近稳定。对此，选取李亚普诺夫函数，且由知正定。进而，基此得 (5) 且由知负定。据李亚谱诺夫主稳定性定理，为渐近稳定。充分性得证。 再证必要性。已知渐近稳定，欲证解阵P正定。为此，考虑矩阵方程： (6) 易知，解阵X为 对式(6)由t=0至t=进行积分，可得 (7) 且由系统为渐近稳定知，当有,从而由导出.基此，并考虑到,再表，可将式(7)进而表为这就表明， 为李亚谱诺夫方程解阵。且由存在惟一和可知， 存在惟一。而由 可知为对称矩阵。再对任意非零，有 (8) 其中，可表正定, N为非奇异。基此，由式(8)可进而导出： (9) 从而，证得解阵P为惟一正定。 证明完毕 对李氏判据的几点说明： (1)对(4)式，Q只要是正定对称矩阵就行，其形式可任意给定。且最终的判断与 Q 的不同选取无关。 (2)为方便起见，通常选取 Q=I（单位阵），这样可将此判据改述为：线性定常系统 的平衡状态 X=0 为渐近稳定的充分必要条件为存在一个正定矩阵P ，使满足矩阵方程 (3)当系统矩阵A 给定后，可用(10)式确定 P 。P 为正定解阵，此时平衡状态为渐近稳定。 应用实例：已知线性系统 试用李亚普诺夫第二法分析系统的稳定性。 解：平衡状态为。 令对称矩阵 由(10)式可得： 由此可导出 解得 则 判断 P 的正定性 故可知 P 是正定的，则系统平衡状态是渐近稳定的。 三、应用小结 本文在给出线性定常系统的稳定性判据的求解时用到了二次型函数、正定对称矩阵、利用矩阵分析求解矩阵方程、矩阵函数及向量二范数等矩阵知识。详细说明如下：李亚普诺夫函数的选取为它是二次型函数；在判据的必要性证明中用到求解矩阵方程 问题，这主要涉及函数矩阵的积分，利用矩阵函数的一些性质(如等)，还用到向量二范数的定义，在所举的例子中用到正定阵的判别(矩阵的各阶顺序主子式)。通过以上知识的应用可以完成线性系统的稳定性判据问题，对解决专业问题具有重要的意义。