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第一章 中的经典力学系统 保守系统 基本物理量 质点运动位置映射：； 个质点的质点组运动位置映射： 或； 速度：； 加速度：； 势能数值函数，表明构型空间中仅有位置决定的能量大小，比如重力势能，但这里“势能”概念为抽象的定义，只需要是一个函数，函数即可，不一定有实际意义； 动能：； 保守系统位置空间物质对象势能函数，满足总机械能恒等于常数。其中物质对象可以抽象假设，没有也可以，位置空间是否保守依赖于势能定义，由此可得：力学系函数； 一个空间中质点运动有几个量：时间位置速度速度和加速度势能；相当于，一个空间中一个质点，在某一时刻，初试位置和初始速度一旦给出，以后任一时刻，质点的位置，速度，加速度都是完全确定的，加速度的大小由时间，位置，速度决定。 例如，在光滑平面桌面上，初试位置速度确定，任一时刻位置可求出，速度不变，加速度为，这就是一个力学系，不同的力学系，如星体系统的椭圆轨道，有势能改变就有不同于光滑桌面的力学系背景，对应的就不同，总之，力学系统可量化为函数 ； 特定的力学系求解 一维运动：，当定义势能时，为保守系统，，默认质量，机械能 所以 若令则。 不定维运动：的初值问题。 ，转化为 坐标系中的点，记为相点，其中，为时刻质点的位置和速度。 事实上， 单有可得，进而得到，有一个任意常数，单有，可得，进而得到，有两个任意常数，一定程度上，与是统一的，同样的，与是统一的。 力学系解曲线：时间 ⅰ 沿等能级曲线由位置运动到位置所需时间为： ， 其中为势能。 ⅱ 沿分界线趋于奇点运动时间为，也就是不可能沿分界线到达奇点。 ⅲ 为相点，随着时间的推移，相点轨迹称为相曲线，与最大势能，也就是对应的临界等能级曲线，各分枝切线方程为，其中为最大势能点坐标位置，维数与一致。 ⅳ 沿等能级闭相曲线运动一周，时间为，其中为等能级闭相曲线面积。 ⅴ 势能取极小值的点附近做小振动周期为： 力学系的性质 保测性 当运动方程为一次方程，即，若散度，则称映射是保测的，也就是，其中为由初始位置，初始速度在保守系统前提下决定的时刻的位置，速度，为区域，为区域内点作为初始相点时刻后的相点，为测度。 保守性 向量场称为保守的存在函数，有，这其中为映射，一个具体例子是为作用于指点组上的力，由一个确定的指点组位置，将其映为唯一的受力，也就是由点到点受力，存在的函数可为势能函数，单位距离势能的减小量提供力，力方向与势能方向相反，所以 。 向量场保守沿任意闭回路一周，做功为0做功与路径无关。 因为保守系统中机械能守恒，定点处势能确定，势能改变量为0，做功为0，不同路径做功方向相反，公共构成闭合回路，合功为0，各自功相等，即与路径无关，只由端点确定。 有心场 力场以0为心的有心场，若保持0不动的的空间运动群不变。 例如：地球对太阳的运动所受万有引力是一个有心场，地球在引力作用下的运动中，机械能守恒，为保守系统，且运动平面内的椭圆轨道上。 平面有心运动 在平面运动中，同时建立直角坐标系和极坐标系，质点做有心运动，则 ⅰ 角动量守恒 ⅱ 扇形速度守恒 ⅲ 由总能量守恒得时间，为位置矢量大小。 ⅳ 由角动量守恒得，位置矢量方向和大小。 质点组有心运动： ⅰ 质心与坐标原点选择无关； ⅱ 封闭系统质心作匀速直线运动； ⅲ 角动量守恒； ⅳ 能量守恒。 欧式空间的力学 基本物理量 力学系质点系函数，在力学系是保守系统且时，，其中为动能，为势能。 在力学中，曲线类上一般泛函的微分是按复合函数微分定义的，其中一般曲线，维数由值域维数定义，相当于集合由一个变量确定，集合受扰动成为，改变量为，函数的改变量为，若，则称函数可微，记为。 基本研究对象：极值曲线 定理：若函数可微，微分 性质：在两端固定的曲线类中，是泛函的极值曲线沿曲线成立。 同时称为泛函的方程，这也就意味着极值曲线是方程的解曲线，由此，若一条曲线是解曲线，则方程沿曲线成立，方程若沿一条曲线成立，则该曲线是极值曲线。 其中，极值曲线的判定与坐标系选取无关。 力学方程与方程，在求解方面，是一致的，通过方程求解，即极值曲线与坐标选取无关，可以再任意曲线下求解力学方程。 变换 变换作为方法，把矢量空间上的函数变为它对偶空间上的函数，属于对偶范畴量研究中一个常用的方法，在构型空间中研究的函数，如势能函数，可以通过变换放到对偶空间中研究，在中得到结果，利用变换的逆变换，映到构型空间中，问题得以解决变换性质。 对合性：设，则的变换，若的变换是，则的变换是。 互为变换的函数与为意义下的对偶。 二阶微分方程组用变换，可以变为对称的个一阶方程组，称为方程组，