第五单元 代数系的一般性质.pptVIP

第5章 代数系统 代数系统的基本概念 1.二元运算:设A是非空集合，从笛卡尔积A×A×…×A到A的映射f称为集合A上的n元运算。简称为n元运算。当n=2时，f称为集合A上的二元运算。 在讨论抽象运算时，“运算”常记为“*”、“°”等。设*是二元运算，如果a与b运算得到c，记作a*b=c。 【例】设N为自然数集合，*和°是N×N到N映射，规定为：?m,n?N， m?n=min{m,n} m°n=max{m,n} 则?和°是N上的二元运算。 2.代数系统:一个非空集合A连同若干个定义在该集合上的运算?1,?2,…,?k所组成的系统称为一个代数系统，记作A,?1,?2,…,?k。 根据定义，一个代数系统需要满足下面两个条件： ①有一个非空集合A。 ②有一些定义在集合A上的运算。 集合和定义在集合A上的运算是一个代数系统的两个要素，缺一不可。 【例】设B是一个集合，A=P(B)是A幂集合。集合的求补运算是A上的一元运算，集合的并和交运算是A上的是二元运算。于是A,∪,∩,~构成一个代数系统，该代数系常称为集合代数。 【例】设R-{0}是全体非零实数集合，*是R-{0}上二元运算，定义为：?a,b? R-{0}，a*b=b。则R-{0},*是代数系统。 二元运算的性质 1.交换律: 设*是非空集合A上的二元运算，如果对于任意的a,b?A，有a?b=b?a，则称二元运算?在A上是可交换的，也称二元运算*在A上满足交换律。 2.结合律: 设*是非空集合A上的二元运算，如果对于任意的a,b,c?A，有(a*b)*c=a*(b*c)，则称二元运算*在A上是可结合的，也称二元运算?在A上满足结合律。 3.分配律: 设*和°是非空集合A上的两个二元运算，如果对于任意a,b,c?A，有 a*(b°c)=(a*b)°(a*c) (左分配律) (b°c)*a=(b*a)°(c*a) (右分配律) 则称运算*对运算°是可分配的。也称运算*对运算°满足分配律。 4.吸收律: 设*和°是非空集合A上的两个可交换的二元运算，如果对于任意a,b?A，有 a*(a°b)=a a°(a*b)=a 则称运算?和运算°满足吸收律。 5.幂等律: 设*是非空集合A上的二元运算，如果对于任意的a?A，有a?a=a，则称运算*是幂等的或运算?满足幂等律。如果A的某个元素a满足a?a=a，则称a为运算*的幂等元。 特殊元素 1.幺元: 设?是定义在集合A上的二元运算，如果有一个el?A，对于任意的a?A，有el ? a=a，则称el为A中关于运算?的左单位元或左幺元；如果有一个er?A，对于任意的a?A，有a ? er=a，则称er为A中关于运算?的右单位元或右幺元；如果在A中有一个元素，它既是左单位元又是右单位元，则称为A中关于运算?的单位元或幺元。 2.零元: 设?是集合A上的二元运算，如果有一个θl?A，对于任意的a?A都有 θl ?a=θl，则称θl为A中关于运算?的左零元；如果有一个θr?A，对于任意的a?A，都有a?θr=θr，则称θr为A中关于运算?的右零元；如果A中有一个元素θ?A，它既是左零元又是右零元，则称θ为A中关于运算?的零元。 3.逆元: 设?是集合A上的二元运算，e为A中关于运算?的幺元。如果对于A中的元素a存在着A中的某个元素b，使得b?a=e，那么称b为a的左逆元；如果存在A中的某个元素b，使得a?b=e，那么称b为a的右逆元；如果存在着A中的某个元素b，它既是a的左逆元又是a的右逆元，那么称b为a的逆元。a的逆元记为a–1。如果a?A存在逆元a–1?A，那么称a为可逆元。 4.消去律: 设?是集合A上的二元运算，θ为A中关于运算?的零元，?a,b,c?A，a≠θ。如果 ⑴若a?b=a?c，便有b=c，则称运算?满足左消去律，称a为运算?的左可消元。 ⑵若b?a=c?a，便有b=c，则称运算?满足右消去律，称a为运算?的右可消元。 若运算?既满足左消去律又满足右消去律，则称运算?满足消去律，称a为运算?的可消元。 子代数和积代数 1.子代数： 设V=A,?1,?2,…,?k是代数系统，B?A。如果?1,?2,…,?k都在B上封闭，B和A含有相同的代数常数，则称代数系统A,?1,?2,…,?k是V的子代数系统，简称子代数。