第五单元 代数系统.pptVIP

第三编 代数系统 本篇用代数方法来研究数学结构,故又叫代数结构,它将用抽象的方法来研究集合上的关系和运算。 代数的概念和方法已经渗透到计算机科学的许多分支中,它对程序理论,数据结构,编码理论的研究和逻辑电路的设计已具有理论和实践的指导意义。 本篇讨论一些典型的代数系统及其性质。 第五章 代数结构 第五章 代数结构 教学目的及要求： 深刻理解和掌握代数系统的基本概念和运算。 教学内容： 代数系统的引入、运算及性质、半群、群与子群。 教学重点： 群的概念及运算。 §5.1 代数系统概述 1、代数运算的定义 定义1：设A是个非空集合，A×A到A的一个映射f，f： A×A→A称为A上的一个二元代数运算，简称二元运算； A到A的一个映射f，f： A→A称为A上的一个一元代数运算，简称一元运算。类似可定义n元运算。 通常用°, ?, · ，+，×等符号来表示二元或一元运算符。 §5.1 代数系统概述 1、代数运算的定义 例如：f是A上的二元运算，即A×A→A的映射。 ?x, y∈A, f(x,y)=z∈A，用公式表示为：x ? y = z 注：映射有存在性和唯一性的要求，运算当然也要满足该要求。 §5.1 代数系统概述 1、代数运算的定义 例1：（1）在实数集合R上定义二元运算?， ?x， y∈R， x ? y=y 则2 ?3=3，0.5 ?(-1/4)=-1/4， 50 ?0=0，0*50=50 §5.1 代数系统概述 1、代数运算的定义 例1：（2）在正整数集合Z+上的二元运算?，+ ?x， y∈Z+， x ? y=x，y的最大公约数， x + y=x，y的最小公倍数 6 ? 8=2， 6 + 8=24 §5.1 代数系统概述 1、代数运算的定义 例1：（3）在实数集合R上定义除法运算，这不是一个代数运算，因0不能作为除数，运算的存在性不满足 。 例1：（4）在实数集合R上求平方根运算，不是一个代数运算。-9不存在平方根，存在性不满足。9有两个平方根：3和-3，唯一性不满足。 但在R+上求平方根运算，是一个一元运算。 §5.1 代数系统概述 1、代数运算的定义 例2：（1）自然数集合N上的乘法是N上的二元运算。 （2）整数集合Z上的加法、减法、乘法是Z上的二元运算，但除法不是Z上的运算。 （3）设Mn(R)表示所有n 阶(n≥2)实矩阵的集合，矩阵加法和乘法都是Mn(R)上的二元运算。 （4）在集合Z的幂集?(z)中，?，?， ?均为二元运算，而“~”是一元运算； §5.1 代数系统概述 1、代数运算的定义 例2： （5）{命题公式}中,∨,∧均为二元运算,而“?”为一元运算 （6）{双射函数}中,函数的复合运算是二元运算； §5.1 代数系统概述 2、表示二元或一元运算的方法 （1）公式法 （2）运算表：在有限集上可以将结果一一列出来定义运算，简便明了的方法就是画出运算表。 二元运算的运算表 一元运算的运算表 §5.1 代数系统概述 2、表示二元或一元运算的方法 （2）运算表： §5.1 代数系统概述 3、运算的封闭性 [定义5-1.1]若对给定集合中的元素进行运算,而产生的象点仍在该集合中,则称此集合在该运算的作用下是封闭的。 例4：（1）在正整偶数的集合E中,对×,+运算是封闭的；在正整奇数的集合中,对×运算是封闭的,而对+运算不是封闭的。  （2）在集合R,I中+,-,×运算； 在?(Z)的元素中∪,∩,~运算等均为封闭的。 §5.1 代数系统的引入 4、代数系统 [定义5-1.2]一个非空集合A连同若干个定义在该集合上的运算f1,f2,….,fk所组成的系统就称为一个代数系统，记作A, f1,f2,….,fk。 实例： （1）N, + ,Z, +,·,R, +,·是代数系统， +和·分别表示普通加法和乘法. （2）Mn(R), +,·是代数系统， +和 · 分别表示 n 阶(n≥2)实矩阵的加法和乘法. §5.1 代数系统的引入 [定义5-1.2]一个非空集合A连同若干个定义在该集合上的运算f1,f2,….,fk所组成的系统就称为一个代数系统，记作A, f1,f2,….,fk。 实例： （3）Zn,?,?是代数系统，Zn＝{ 0, 1, … , n?1 }， ?和?分别表示模 n 的加法和乘法， 对于x, y∈Zn， x?y=(x＋y)modn，x?y=(xy)modn （4） ?(Z),∪,∩,~也是代数系统， ∪和∩为并和交，~为绝对补 §5.2