第五单元 线性空间与线性变换.pptVIP

二. 规范正交基 定理5.7 在Euclid空间中, 如果向量组?1, ?2,…, ?m线性无关, 则有规范正交向量组?1, ?2,…, ?m与之等价 . 证明 先正交化, 取 ?1 =?1, 再将?1, ?2,…, ?m单位化, 取 则?1, ?2,…, ?m就是所求规范正交向量组. 上述由线性无关向量组?1, ?2,…, ?m,得到正交向量组?1, ?2,…, ?m的方法称为Schimidt(斯密特)正交化过程. 定义5.13 在n维Euclid空间V中, 含有n个向量的正交向量组称为V的正交基. 由单位向量构成的正交基称为规范正交基. 例4 在线性空间R[x]3中, 定义内积 试求R[x]3的一组规范正交基. 解 取R[x]3的一组基, ?1=1, ?2=x, ?3=x2, 将其正交化得: ?1 =?1=1, ?1, ?2,…, ?m就是R[x]3的一组规范正交基. 再将?1, ?2, ?3单位化, 取 例5 求L(?1, ?2, ?3, ?4)的一组规范正交基. 其中 解 由于 可见, ?1, ?2, ?4是L(?1, ?2, ?3, ?4)的一组基, 正交化 ?1 =?1 再单位化得L(?1, ?2, ?3, ?4)的一组规范正交基为: 定义5.14 若实方阵A满足AAT=E, 则称A是正交矩阵. 若记 则,由于 可见, AAT=E的充分必要条件是: 所以说, n阶实矩阵A是正交矩阵?A的行(列)向量组是Euclid空间Rn的一组规范正交基. 注意: ?i?jT=ai1aj1+ai2aj2+…+ainajn=[?i, ?j] 例如, 下列矩阵都是正交矩阵: 在Euclid空间中, 两组规范正交基的过渡矩阵是正交矩阵. 填空题4 已知线性变换f(P)=P?, 其中P为多项式, P?为P关于x的导数, 那么该变换在基3, x+2, x2+2x+1下的矩阵为: 6. 线性空间R3中向量　　　　在基 　　　　　下的坐标为 5 －10 23 * 第五章 线性空间与线性变换 §1 线性空间的概念 线性空间也是线性代数的中心内容之一, 本章介绍线性空间的概念及其简单性质, 讨论线性空间的基和维数的概念, 介绍线性变换的概念和线性变换的矩阵表示. 一. 数域 (1) 0, 1?K ; 定义5.1 设K是一个数集, 如果 (2) ?a, b?K, 都有a+b?K, a-b?K, ab?K, 且当b?0时, a/b?K, 那么称K是一个数域. 可见, 有理数集Q, 实数集R, 复数集C都是数域. 数集 也是数域. 可见, 有无穷多个数域. 但任意数域都包含于有理数域. 对几何空间中的向量, 实数域上的n维向量, 实数域上的矩阵等, 它们的元素间都定义了各自的加法和乘数两种运算, 而且满足相同的运算规律, 这就是线性空间. 二. 线性空间的定义和例子 定义5.2 设V是一个非空集合, K是一个数域, 如果在V上定义了加法和与K中数的乘法两种运算, 且满足 (1) ?+?=?+?(加法交换律); (2) (?+?)+?=?+(?+?)(加法结合律); (3) V中有零元素0, 使???V有 ?+0=? ; (4) ???V, ?-??V, 使 ?+(-?)=0, 称-?为?的负元素; (5) k(?+?)=k?+k? , ?? , ??V, k?K; (6) (k+l)?=k?+l ? , ???V, k, l?K; (7) (kl)?=k(l ?) , ???V, k, l?K; (8) 1?=? , ???V, 1?K; 则称V为数域K上的一个线性空间. 记为VK , 或V. 线性空间也称为向量空间, 其元素都称为向量. 例如: 数域K上的所有n维向量组成的