第二章第十节《函数与方程》文.docVIP

第十节　函数与方程 1．结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数． 2．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解． 知识梳理 一、函数的零点 1．定义：一般的，如果函数y＝f(x)在________________，即 f(a)＝0，则__________叫做这个函数的零点． 2．函数的零点存在性定理：若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是________，并且在______________，即__________________，则函数y＝f(x)在________________，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数根． 3．函数的零点具有下列性质：当它________(不是偶次零点)时函数值________，相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． 二、二分法 1．定义：对于区间[a，b]上图象连续不断的，且f(a)· f(b)0 的函数y＝f(x)，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而得到零点近似值的方法，叫做二分法． 2．用二分法求函数零点的近似值的步骤． 第一步：________________________________________ 第二步：________________________________________ 第三步：________________________________________ (1)若_________，则x1就是函数f(x)的零点； (2)若________________，则令b＝x1； (3)若________________，则令a＝x1. 第四步：判断是否达到精确度ε，即若________，则得到零点近似值a(或b)．否则，重复第二、三、四步． 注意：(1)在二分法求方程解的步骤中，初始区间可以选的不同，不影响最终计算结果，所选的初始区间的长度尽可能短，但也要便于计算； (2)二分法的条件f(a)·f(b)0表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点． 三、一元二次方程根的分布问题 关键是抓住方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根所在区间端点的函数值的符号、判别式及对称轴的位置这三点来考虑． 二次方程f(x)＝ax2＋bx＋c＝0的实根分布及条件： (1)方程f(x)＝0的两根中一根比r大，另一根比r小a·f(r)0； (2)二次方程f(x)＝0的两根都大于r (3)二次方程f(x)＝0在区间(p，q)内有两根 (4)二次方程f(x)＝0在区间(p，q)内只有一根f(p)·f(q)0或f(p)＝0或f(q)＝0，检验另一根在(p，q)内成立． 一、1.实数a处的值等于零　a　2.连续不间断的　区间端点的函数值符号相反　f(a)·f(b)0　区间(a，b)内至少有一个零点　3.通过零点　变号 二、2.确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)0，给定精确度ε　求区间 (a，b)的中点x1　计算f(x1) (1)f(x1)＝0　(2)f(a)·f(x1) 0　(3)f(x1)·f(b)0　|a－b|ε基础自测 1．根据表中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间为(　　) x －1 0 1 2 3 ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09 x＋2 1 2 3 4 5 A.(－1,0)B．(0,1) C．(1,2)D．(2,3)解析：设f(x)＝ex－(x＋2)，则由题设知f(1)＝－0.28＜0，f(2)＝3.39＞0，故有一个根在区间(1,2)内． 答案：C 2．(2013·河北名师俱乐部一模)下列函数中，在(－1,1)上有零点且单调递增的是(　　) A．y＝log2(x＋2) B．y＝2x－1 C．y＝x2－ D．y＝－x2解析：在(－1,1)上递增的函数只有y＝log2(x＋2)和y＝2x－1，又y＝log2(x＋2)的零点为x＝－1，y＝2x－1的零点为x＝0.故选B. 答案：B 3．如果函数f(x)＝x2＋mx＋m＋2的一个零点是0，则另一个零点是________．解析：依题意知：m＝－2.∴f(x)＝x2－2x. ∴方程x2－2x＝0的另一个根为2，即函数f(x)的另一个零点是2. 答案：2 4．方程x2－2ax＋4＝0的两根均大于1，则实数a的取值范围是___________________________________________．解析：(法一)利用韦达定理． 设方程x2－2ax＋4＝0的两根为x1，x2， 则解得2≤a＜. (法二)利用二次函数图象的特征． 设f(x)＝x2－2ax＋4，则解得2≤a＜. 答案： 1．(2012·湖北卷)函数f(x)＝xcos x