专题07三角变换及解三角形-高考数学（文）备考学易黄金易错点Word版含解析.docVIP

专题07 三角变换及解三角形 2017年高考数学（文）备考学易黄金易错点 1．若tanα＝34，则cos2α＋2sin2α等于(　　) A.6425B.4825C．1D.1625 答案　A 解析　tanα＝34，则cos2α＋2sin2α＝cos2α＋2sin2αcos2α＋sin2α ＝1＋4tanα1＋tan2α＝6425. 2．在△ABC中，若AB＝13，BC＝3，∠C＝120°，则AC等于(　　) A．1B．2C．3D．4 答案　A 解析　由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC，即13＝AC2＋9－2AC×3×cos120°，化简得AC2＋3AC－4＝0，解得AC＝1或AC＝－4(舍去)．故选A. 3．方程3sinx＝1＋cos2x在区间0,2π]上的解为__________． 答案　π6，5π6 解析　3sinx＝2－2sin2x，即2sin2x＋3sinx－2＝0， ∴(2sinx－1)(sinx＋2)＝0，∴sinx＝12，∴x＝π6，5π6. 4．在锐角三角形ABC中，若sinA＝2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是________． 答案　8 解析　在△ABC中，A＋B＋C＝π， sinA＝sinπ－(B＋C)]＝sin(B＋C)， 由已知，sinA＝2sinBsinC， ∴sin(B＋C)＝2sinBsinC. ∴sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBsinC， A，B，C全为锐角，两边同时除以cosBcosC得： tanB＋tanC＝2tanBtanC. 又tanA＝－tan(B＋C)＝－tanB＋tanC1－tanBtanC＝tanB＋tanCtanBtanC－1. ∴tanA(tanBtanC－1)＝tanB＋tanC. 则tanAtanBtanC－tanA＝tanB＋tanC， ∴tanAtanBtanC＝tanA＋tanB＋tanC＝tanA＋ 2tanBtanC≥22tanAtanBtanC， ∴tanAtanBtanC≥22， ∴tanAtanBtanC≥8. 5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cosA＝23，sinB＝5cosC，并且a＝2，则△ABC的面积为________． 答案　5)2 6．若α∈(0，π2)，则sin2αsin2α＋4cos2α的最大值为________． 答案　12 解析　∵α∈(0，π2)， ∴sin2αsin2α＋4cos2α＝2sinαcosαsin2α＋4cos2α＝2tanαtan2α＋4且tanα0， ∴2tanαtan2α＋4＝24tanα≤22\r(4)＝12(当且仅当tanα＝2时等号成立)，故sin2αsin2α＋4cos2α的最大值为12. 7．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m. 答案　1006 解析　在△ABC中，AB＝600，∠BAC＝30°，∠ACB＝75°－30°＝45°，由正弦定理得BCsin∠BAC＝ABsin∠ACB，即BCsin30°＝600sin45°，所以BC＝3002.在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，CD＝BCtan∠CBD＝3002·tan30°＝1006. 8．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(a＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)·sinC，则△ABC面积的最大值为________． 答案　3 解析　∵asinA＝bsinB＝csinC，a＝2， 又(a＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)·sinC， 可化为(a＋b)(a－b)＝(c－b)·c， ∴a2－b2＝c2－bc，∴b2＋c2－a2＝bc. ∴b2＋c2－a22bc＝bc2bc＝12＝cosA，∴A＝60°. ∵△ABC中，4＝a2＝b2＋c2－2bc·cos60° ＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc(“＝”当且仅当b＝c时取得)， ∴S△ABC＝12·bc·sinA≤12×4×3)2＝3. 9．已知函数f(x)＝3sinωx·cosωx－cos2ωx(ω0)的最小正周期为2π3. (1)求ω的值； (2)在△ABC中，sinB，sinA，sinC成等比数列，求此时f(A)的值域． (2)由(1)知f(x)＝sin(3x－π6)－12， 易得f(A)＝sin(3A－π6)－12. 因为sinB，sinA，sinC成等比数列， 所以sin2A＝sinBsinC， 所以a2＝bc， 所以cosA＝b2＋c2－a22bc＝b2＋c2－bc2bc≥2bc－bc2bc ＝12(当