2017届高考数学一轮复习第四章三角函数4.4.2解三角形及其综合应用对点训练理.docVIP

2017高考数学一轮复习 第四章 三角函数 4.4.2 解三角形及其综合应用对点训练 理 1．钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝(　　) A．5 B. C．2 D．1 答案　B 解析　由题意知SABC＝AB·BC·sinB， 即＝×1×sinB，解得sinB＝. B＝45°或B＝135°. 当B＝45°时，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝12＋()2－2×1××＝1. 此时AC2＋AB2＝BC2，ABC为直角三角形，不符合题意； 当B＝135°时，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝12＋()2－2×1××＝5，解得AC＝.符合题意．故选B. 2．已知ABC的内角A，B，C满足sin2A＋sin(A－B＋C)＝sin(C－A－B)＋，面积S满足1≤S≤2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，则下列不等式一定成立的是(　　) A．bc(b＋c)8 B．ab(a＋b)16 C．6≤abc≤12 D．12≤abc≤24 答案　A 解析　由sin2A＋sin(A－B＋C)＝sin(C－A－B)＋得，sin2A＋sin[A－(B－C)]＋sin[A＋(B－C)]＝，所以sin2A＋2sinAcos(B－C)＝.所以2sinA[cosA＋cos(B－C)]＝，所以2sinA[cos(π－(B＋C))＋cos(B－C)]＝，所以2sinA[－cos(B＋C)＋cos(B－C)]＝， 即得sinAsinBsinC＝.根据三角形面积公式 S＝absinC， S＝acsinB， S＝bcsinA， 因为1≤S≤2，所以1≤S3≤8.将式相乘得1≤S3＝a2b2c2sinAsinBsinC≤8，即64≤a2b2c2≤512，所以8≤abc≤16，故排除C，D选项，而根据三角形两边之和大于第三边，故b＋ca，得bc(b＋c)8一定成立，而a＋bc，ab(a＋b)也大于8，而不一定大于16，故选A. 3．设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且C＝，a＋b＝λ，若ABC面积的最大值为9，则λ的值为(　　) A．8 B．12 C．16 D．21 答案　B 解析　SABC＝absinC＝ab≤·2＝λ2＝9，当且仅当a＝b时取“＝”，解得λ＝12. 4.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m. 答案　100 解析　依题意，BAC＝30°，ABC＝105°.在ABC中，由ABC＋BAC＋ACB＝180°，所以ACB＝45°，因为AB＝600 m，由正弦定理可得＝，即BC＝300 m．在RtBCD中，因为CBD＝30°，BC＝300 m，所以tan30°＝＝，所以CD＝100 m. 5．在ABC中，已知·＝tanA，当A＝时，ABC的面积为________． 答案　 解析　由·＝tanA，可得||||cosA＝tanA. 因为A＝，所以||||·＝，即||||＝. 所以SABC＝||||·sinA＝××＝. 6．已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，若cosB＝，a＝10，ABC的面积为42，则b＋的值等于________． 答案　16 解析　依题意可得sinB＝，又SABC＝acsinB＝42，则c＝14.故b＝＝6，所以b＋＝b＋＝16. 7．甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a海里的B处，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的倍，甲船为了尽快追上乙船，则应取北偏东________(填角度)的方向前进． 答案　30° 解析　设两船在C处相遇，则由题意ABC＝180°－60°＝120°，且＝， 由正弦定理得 ＝＝sin∠BAC＝. 又0°BAC60°，所以BAC＝30°，60°－30°＝30°. 8．在ABC中，已知AB＝2，AC＝3，A＝60°. (1)求BC的长； (2)求sin2C的值． 解　(1)由余弦定理知，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA＝4＋9－2×2×3×＝7，所以BC＝. (2)由正弦定理知，＝，所以sinC＝·sinA＝＝.因为ABBC，所以C为锐角，则cosC＝＝＝. 因此sin2C＝2sinC·cosC＝2××＝. 9.设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝btanA，且B为钝角． (1)证明：B－A＝； (2)求sinA＋sinC的取值范围． 解　(1)证明：由a＝btanA及正弦定理，得＝＝，所以sinB＝cosA，即sinB＝sin. 又B为钝角，因此＋A，故B＝＋A，即B－A＝. (2)由(1)知，C＝π－(A＋B)＝π