2017届高考数学一轮复习第二章函数的概念及其基本性质2.9.1函数的实际应用对点训练理.docVIP

2017高考数学一轮复习 第二章 函数的概念及其基本性质 2.9.1 函数的实际应用对点训练 理 1．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(　　) A．5 B．6 C．8 D．10 答案　C 解析　由题意可得：ymin＝－3＋k＝2.解得k＝5，故这段时间水深的最大值为3＋5＝8(m)，选C. 2．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为(　　) A. B. C. D.－1 答案　D 解析　设两年前的年底该市的生产总值为a，则第二年年底的生产总值为a(1＋p)(1＋q)．设这两年生产总值的年平均增长率为x，则a(1＋x)2＝a(1＋p)(1＋q)，由于连续两年持续增加，所以x0，因此x＝－1，故选D. 3．某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t(分钟)与电话费S(元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式电话费相差(　　) A．10元 B．20元 C．30元 D.元 答案　A 解析　依题意可设SA(t)＝20＋kt，SB(t)＝mt. 又SA(100)＝SB(100)， 100k＋20＝100m，得k－m＝－0.2， 于是SA(150)－SB(150)＝20＋150k－150m＝20＋150×(－0.2)＝－10，即两种方式电话费相差10元，选A. 4. 如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小．若AB＝15 m，AC＝25 m，BCM＝30°，则tanθ的最大值是________．(仰角θ为直线AP与平面ABC所成角) 答案　 解析　由于ABBC，AB＝15 m，AC＝25 m，所以BC＝ ＝20 m．过点P作PNBC交BC于N，连接AN(如图)，则PAN＝θ，tanθ＝. 设NC＝x(x0)，则BN＝20－x， 于是AN＝＝ ＝， PN＝NC·tan30°＝x， 所以tanθ＝ ＝＝， 令＝t，则－＋1＝625t2－40t＋1， 当t＝时，625t2－40t＋1取最小值， 因此 的最小值为＝，这时tanθ的最大值为×＝. 5．某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l.如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米．以l2，l1所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy.假设曲线C符合函数y＝(其中a，b为常数)模型． (1)求a，b的值； (2)设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t. 请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域； 当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度． 解　(1)由题意知，点M，N的坐标分别为(5,40)，(20,2.5)． 将其分别代入y＝， 得解得 (2)由(1)知，y＝(5≤x≤20), 则点P的坐标为， 设在点P处的切线l交x，y轴分别于A，B点，y′＝－， 则l的方程为y－＝－(x－t)， 由此得A，B. 故f(t)＝ ＝ ，t[5,20]． 设g(t)＝t2＋，则g′(t)＝2t－.令g′(t)＝0，解得t＝10. 当t(5,10)时， g′(t)0，g(t)是减函数； 当t(10，20)时，g′(t)0，g(t)是增函数； 从而，当t＝10时，函数g(t)有极小值，也是最小值，所以g(t)min＝300，此时f(t)min＝15. 故当t＝10时，公路l的长度最短，最短长度为15千米． 6．某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的抛物线的一段．已知跳水板AB的长为2 m，跳水板距水面CD的高BC为3 m．为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点A处水平距h m(h≥1)时达到距水面最大高度4 m．规定：以CD为横轴，BC为纵轴建立直角坐标系． (1)当h＝1时，求跳水曲线所在抛物线的方程； (2)若跳水运动员在区域EF内入水时才能达到比较好的训练效果，求此时h的取值范围． 解　(1)由题意知抛物线的最高点为(2＋h,4)，h≥1，故设抛物线的方程为y＝a[x－(2＋h)]2＋4. 当h＝1时，最高点为(3,4)，方程为y＝a(x－3)2＋4. 将A(2,3)代入，得3＝a(2－3)2＋4，解得a＝－1.所以当h＝1时，