2017届高考数学一轮复习第十二章概率与统计12.2.1离散型随机变量的分布列、均值对点训练理.docVIP

2017高考数学一轮复习 第十二章 概率与统计 12.2.1 离散型随机变量的分布列、均值对点训练 理 1．若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如137,359,567等)． 在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分． (1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”； (2)若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望E(X)． 解　(1)个位数是5的“三位递增数”有 125,135,145,235,245,345. (2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为C＝84， 随机变量X的取值为：0，－1,1，因此 P(X＝0)＝＝， P(X＝－1)＝＝， P(X＝1)＝1－－＝. 所以X的分布列为 X 0 －1 1 P 则E(X)＝0×＋(－1)×＋1×＝. 2.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球．在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖． (1)求顾客抽奖1次能获奖的概率； (2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望． 解　(1)记事件A1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}， A2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}， B1＝{顾客抽奖1次获一等奖}， B2＝{顾客抽奖1次获二等奖}， C＝{顾客抽奖1次能获奖}． 由题意，A1与A2相互独立，A1与A2互斥，B1与B2互斥，且B1＝A1A2，B2＝A1＋A2，C＝B1＋B2. 因为P(A1)＝＝， P(A2)＝＝，所以P(B1)＝P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝×＝， P(B2)＝P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝P(A1)P()＋P()P(A2)＝P(A1)(1－P(A2))＋(1－P(A1))P(A2)＝×＋×＝. 故所求概率为P(C)＝P(B1＋B2)＝P(B1)＋P(B2)＝＋＝. (2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为，所以X～B. 于是P(X＝0)＝C03＝， P(X＝1)＝C12＝. P(X＝2)＝C21＝. P(X＝3)＝C30＝. 故X的分布列为 X 0 1 2 3 P X的数学期望为E(X)＝3×＝. 3．某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定．小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定． (1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率； (2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X，求X的分布列和数学期望． 解　(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A，则P(A)＝××＝. (2)依题意得，X所有可能的取值是1,2,3. 又P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝，P(X＝3)＝××1＝. 所以X的分布列为 X 1 2 3 P 所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝. 4．端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个． (1)求三种粽子各取到1个的概率； (2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望． 解　(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A)＝＝. (2)X的所有可能值为0,1,2，且 P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝. 综上可知，X的分布列为 X 0 1 2 P 故E(X)＝0×＋1×＋2×＝(个)． 5．某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)． (1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率； (2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望． 解　(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A， 则P(A)＝＝. 所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为. (2)随机变量X的所有可能值为0,1,2,3. P(X＝k)＝(k＝0,1,2,3)． 所以，随机变量X