3.分式方程的解法及应用.docVIP

分式方程的解法及应用 要点一、分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫分式方程. 要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. （2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程. （3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 要点二、分式方程的解法 解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根. 解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 要点三、解分式方程产生增根的原因 方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根. 产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根. 要点诠释：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根. （2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的. 要点四、分式方程的应用 分式方程的应用主要就是列方程解应用题. 步骤进行： 【典型例题】类型一、判别分式方程 B． C． D．，（，为非零常数） 【答案】【】类型二、解分式方程 ；（2）． 解：（1）解方程，得． （2解这个方程，得． 【】． 【答案】 解：， 方程两边都乘，得， 解这个方程，得， 检验：当时，， ∴ 是增根， ∴ 原方程无解． 类型三、分式方程的增根 为何值时，关于的方程会产生增根？ 【思路点拨】若分式方程产生增根，则，即或，然后把代入由分式方程转化得的整式方程求出的值． 【答案与解析】 解： 方程两边同乘约去分母， 得．整理得． ∵ 原方程有增根，∴ ，即或． 把代入，解得． 把代入，解得． 所以当或时，方程会产生增根． 【】有增根，那么增根是________． 【答案； 提示：因为增根是使分式的分母为零的根，由分母或可得．所以增根是． 类型三、分式方程的增根 有增根，求值； （2）若分式方程有增根，求的值． 【思路点拨】（1）若分式方程产生增根，则，即或，然后把代入由分式方程转化得的整式方程求出的值．（2）将分式方程转化成整式方程后，把代入解出的值. 【答案】，得． ∴ ． ∴ ． 由题意知增根为或， ∴ 或． ∴ 或． （2）方程两边同乘，得． ∴ ． ∴ ． ∵ 增根为， ∴ ． ∴ ． 【】的方程无解，求的值． 【答案】 解：方程两边同乘约去分母， 得，即． ①∵ ，即时原方程无解， ∴ ，∴ ． ②∵ 当时，整式方程无解， ∴ 当时，原方程无解． 综上所述，当或时，原方程无解． 7.已知关于的方程有一个正数解，求的取值范围． 解：方程两边同乘约去分母， 得．整理，得． ∵ ∴ 解得且， ∴ 当且时，原方程有一个正数解． 类型四、分式方程的应用 【答案】棵树，则乙班每小时种棵树． 由题意可得，解这个方程，得． 经检验是原方程的根且符合题意． 所以(棵)． 答：甲班每小时种20棵树，乙班每小时种22棵树． 【】的分式表示甲、乙两班种树所用的时间． 举一反三： 9【变式】8两个工程队共同参与一个建筑工程，甲队单独施工1个月完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成．哪个队的施工速度快? 【答案】 解：设乙队单独施工1个月能完成工程的，总工程量为1． 根据工程的实际进度，得． 方程两边同时乘以，得． 解这个方程得． 检验：当时，＝6≠0， 所以是原分式方程的解． 由上可知，若乙队单独工作1个月可以完成全部任务，对比甲队1个月完成任务的，可知乙队施工速度快． 答：乙队施工速度快． 10. 甲工人工作效率是乙工人工作效率的倍，他们同时加