中国矿业大学《高等数学》单元自测6.pptVIP

高等数学单元自测(六) 一、填空（20分） 2.曲线 3.曲线 4.曲线 5.横截面为S，深为h的水池装满水，把水全部抽 二、 三、曲线 接三 四、设有一正椭圆柱体，其底面的长、短轴分别 接四 五、求曲线 接五 六、 接六-1 接六-2 七、求一质量均匀的半圆弧对位于其圆点的单位 接七 八、底为b高为h的对称抛物线弓形闸门，底平行 接八-1 接八-2 * 1.函数 析： 在区间 上的平均值 为 上 析： s= 一段弧长 . ， ， ， ，所围成 图形的面积 A= 析： 与 所围图形绕y轴旋转一周 所成旋转体的体积 V= 析： (0,0) (1,1) x y 析： 到高为H的水塔上，所作功 W= 解： 一拱 由弧长公式，有： 的弧长。 解： 与x轴所围封闭图形绕y=3 作图如右 x y 3 1 A B 旋转所得旋转体的体积。 当 时 设旋转体在[0,1]上的体积为 ，在[1,2]上 的体积为 ，则 从而，由对称性有： x y 3 1 A B 解： 设底面正椭圆方程为 以垂直y轴的平行平面截此楔形体 得截面为直角三角形，其一直角边长 为2a,2b，用过此柱体底面的短轴且与底面成 角 的平面截此柱体得一如图所 示的楔形体，求此楔形体的体积。 为 ，另一直角边长为 则截面面积 从而所求体积 解： 在区间(2,6)内的一条切线，使 设所求切线与曲线 从而切线与x=2，x=6所围图形面积 该切线与直线x=2，x=6及曲线所围图形的面 积最小。 交于点 则切线方程为： 2 1 6 y x 2 1 6 y x 设 由 得唯一驻点x=4 由实际问题知最小面积存在且驻点唯一，则 所求切线方程为： 解： 在闭区间[0,1]上连续，在开区间 由已知，当 从而 (0,1)内大于零且满足 (a为常数)。又曲线 ，即 与x=1,y=0所围的圆形 S的面积值为2，求函数 ，并问a为何值 时，图形S绕x轴旋转一周所得旋转体体积最小？ 设函数 时，有 ，当x=0时，有 从而由其函数连续性知 又由 得 所以 由 得 又 故 是唯一极小值点，所以此点为最小值点 ， 从而当 时，旋转体体积最小． 因此旋转体体积 解： 建立坐标系如图 ， 质量质点的引力。 从而 R x y 设半圆弧半径为R，质量为M 由对称性 又 由 所以 易知 R x y 解： 齐，若底与高之和为常数a，问高和底各为何 取x为积分变量 于水平面且离水平面距离为h，顶点与水平面 由于曲线过点 值时，闸门所受的压力最大。 建立坐标系如图所示 设抛物线为 y x ，有 于是有