中国矿业大学《高等数学》第六章 定积分应用习题课.pptVIP

第六章定积分应用(习题课) 题组一： 几何应用 1. 求由两抛物线 及 所围平面图形的面积。 1. 求由两抛物线 及 解: y x 0 由对称性,取 y 为积分变量得 2. 求由 所围平面图形的面积。 解: y x 0 边界曲线的极坐标 方程分别为 过 OA 作辅助线如图, 接2. x 0 y 3. 由 解: 与 x 轴所围的图形分别 绕 x 轴, y 轴及 y =1 旋转,求各旋转体的体积. x y 0 接3. x y 0 4. 求曲线 解: 所围平面 图形绕 y 轴旋转一周所得的旋转体的体积 V . x y 0 设 S1 旋转所得的体积为 V1， S2 旋转所得的体积为 V2 . 方法一: 取 y 为积分变量得 x y 0 解法二:取 x 为积分变量得 5. 求星型线 解: 所围图形的面积及 所围图形绕 x 轴旋转而成的旋转体的表面积. 利用对称性 6. 证明:曲线 解: 的弧长等于椭圆 的周长. 椭圆的参数方程为 设正弦曲线的弧长为 s1 , 椭圆的周长为 s2 , 由对称性 题组二： 物理应用 解: 1. 已知弹簧拉长0.02米需要9.8牛顿的力，求把弹簧拉长0.10米所作的功。 由虎克定律 2. 设有一容器的外壳为抛物线 解: 绕 y 轴旋转而成 的抛物面，里面装满水，水面齐到 y =1（水比重为1) ,求将水全部抽到高为 h ( h ?1 )处所作的功。 x y 0 3. 长方体 解: 器皿盛满等体积的水和油，假设油比水轻一倍。证明：如果器皿完全用油盛满，则它在每一壁上的压力将减少五分之一。（提示：油浮于水上） 设水的密度为 油的密度为 x y 0 油 水 接3. 若全盛满油, 则 x y 0 油 4. 设一均匀细棒 解: （密度ρ=1）放在 x 轴上，其区间为 [ a , b ]，一质量为 m 的质点位于 y 轴上点 ( 0 , h )处，求细棒对质点的引力。 x y 0 接4. 题组三： 综合题 解: 1. 设 0 k 2 , 当 k 为何值时,曲线 与直线 所围图形的面积最小。 x y 0 故 时图形的面积最小。 2. 设曲线 解: 过原点作其切线，求由此曲线， 切线及 x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所得的旋 转体的体积与表面积。 x y 0 设切点为 则切线方程为 切线过点 ( 0 , 0 ) 切线方程为 切点为 接2. x y 0 3. 设 f ( x ) 在 [ a , b ] 可导, 解: ， 试证：对如图所示的两个面积 A ( t ) , B ( t ) 而言,存在 唯一的 ξ∈ ( a , b ) , 使得 y x 0 A(t) B(t) y=f(x) 显然 设 问题归结为证明方程 F(t) = 0在 (a , b) 内有唯一实根。 接3. 显然 F(t) 在 [a , b] 内连续 . 又因为 所以 f ( x ) 单增, 由零点定理, 至少存在一点ξ∈(a , b) , 使得 又 所以 F(t) 在 (a , b) 内单增. 故 ξ 唯一. * 大多数题目未做成动画! * 大多数题目未做成动画!