中国矿业大学《高等数学》第一章 函数极限连续习题课.pptVIP

第一章函数 极限 连续(习题课) 题组一：函数 1. 设 f ( x )满足 (a , b , c 为常数), 且 ,又 证明 f ( x )是奇函数. 解: 2. 设 y = f ( x ) 是严格单调增函数, 则其反函数 也是单调增函数. 解: 利用反证法. 假设 是单调减函数, 则必存在 使 这与 严格单调增 矛盾, 因此函数 是单调增函数. 3. 设 a , b 是常数,且 若 及 试证: 是以 为周期的周期函数. 证明: 故 是以 为周期的周期函数. 4. 设 求 与 解: 或 接4. 解: 题组二：极限 1. 设 且 求 解: 先证明数列的极限存在. 有下界. 存在. 接1. 再求数列的极限值. 设 则 得 解得 即 2. 设 且 证明: 解: 由 可知, 取 使 3. 求 解: 设 于是 因 故 因此 4. 求 解: 原式 = 5. 求 解: 原式 = 有界量 无穷小量 6. 求 解: 原式 = 7. 求 解: 原式 = 8. 求 解: 原式 = (1) (2) (1) 式 = 接8. (2) 式 = 因此 原式 = 9. 求 解: 原式 = 10. 已知 求常数 a , b . 解: 所以 故 11. 已知 存在, 求常数 a 及其 极限值. 解: 因为 所以 即 这样 题组三：连续 1. 讨论函数的连续性, 若有间断点判断其类型. (1) 解: 间断点为： 其中 为可去间断点, 为无穷间断点. (2) 解: 间断点为： 其中 所以 是第一类间断点, 是第二类间断点. 或 (3) 解: 因为 所以 为跳跃间断点. (4) 解: 显然 为第二类间断点. 2. 设 试确定常数 a , b , 使 在 处连续. 解: 要使 在 处连续, 需有 即 故 3. 设 有无穷间断点 及可去 间断点 试确定常数 a , b . 解: 为无穷间断点 为可去间断点 4. 试证:方程 在 内至少有一实根. 解: 设 则它在 上连续. 又知 由零点定理知, 至少存在一点 使 而 因此方程在 内至少有一实根. 5. 设 在 上连续, 证明: 至少存在一点 使 解: 设 因 在 上连续, 故 在 上连续, 因此 在 上连续 . 而 当 时, 接5. 若 则 取 即可. 若 则 取 即可. 当 时, 由零点定理, 存在 使 即 6. 设函数 在 内非负连续,且 证明:在 内必有 使 解: 不妨假设 因为 在 内非负且连续 , 所以 在 内非负且连续 . 由闭区间上连续函数的最值定理得: 在该区间上一定存在最大值 M 和最小值 m . 记 于是有 所以 接6. 由介值定理知, 一定存在 使 当 时， 是常函数， 之间的任何值即可。 当 时， 作业 P75 4 (1) , (4) ; 5 ; 8 ; 9 (2) , (3) , (6) ; 10; 11 ; 12 ; 13