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第五章 定 积 分 (习题课) 题组一： 概念题 2. 接2. 3. 4. 5. 二、设 f (x)为连续函数， 3.设 4.设 接4. 5. 设 (2) 若 题组二： 计算题 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 设 11. 题组三： 证明题 接1. 2. 设 f (x)在 [a,b] 连续,且 f (x)0 , 证明: 存在唯一的点 接2. 3. 证明: 方程 4. 证明积分等式: 4（2） 接4(2) 5. 证明积分不等式 接5(2). 5(4) 设 解: 令 则 证明: (1) 令 令 则 证明: (2) 设 f (x)在 [a,b] 连续, 且单调递增, 则 设 则 因 单增， 所以 因此 故 即 解: 一、求下列极限 解: 则 而 故 解: 解: 解: 因为 所以 而 所以 解: 试解下列各题 1. 设 ，求 f (x) . 设 则 代入(1)得 解之得 所以 (1) 解： 2. 设 求 定积分为常数 , 设 , 则 故应用积分法定此常数 . 解: 所以 因此 解: 令 则 时， 时， 且 于是 所以 时， 证明: 证明: (1) 若 f (x)为偶函数,则 F (x)为偶函数. (2) 若 f (x)单调不增,则 F (x)单调不减. (1) 若 f (x)= f (-x) 则 所以 F(x) 单调不减。 解: 原式= 解: 原式 解: 原式= 解: 原式= 解: 原式= n 为偶数 n 为奇数 解: 原式 = 解: 原式 = 解: 令 则 原式 = 设 则 故 解: 原式 = 解: 设 则 解: 是瑕点. 令 则 解: 1. 设 f (x)在[0,1]可导,且 证明: 存在 积分中值定理 作 则 在 上应用Rolle定理可得： 至少存在一点 使 即 因此 解: 作 因为 F ( t ) 在 [ a , b ] 可导， 所以一定连续。 又知 由零点定理， 使 即 再证明唯一性： 所以 F ( t ) 单调， 故 唯一。 解: 在[0,1] 内存在唯一实数根. 设 则 所以 使 而 所以 单调， 唯一。 证明: 令 则
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