第3章多维随机变量及其分布.docVIP

第三章 多维随机变量及其分布3.1 二维随机变量 三、计算下列各题 1. 已知随机变量的联合密度为, 求的联合分布函数。 解 因为 2. 一个箱子装有12只开关，其中2只是次品，现随机地无放回抽取两次，每次取一只，以分别表示第一次和第二次取出的次品数，试写出的概率分布律。 解. 3. 给定非负函数, 问是否是随机变量的联合概率密度?说明理由。 解 是的联合概率密度只要满足≥0与 所以是随机变量的联合概率密度。 4. 设随机变量 () 的联合密度为，求：（1）系数k； （2）； （3）； （4）。 解：（1） （2） （3） （4）= 5. 设随机变量 () 的联合密度为, 求 (1) 系数, (2) 概率。 解 6.袋中有1个红色球，2个黑色球与3个白色球，现有放回地从袋中取两次，每次取一球，以X，Y，Z分别表示两次去求所取得的红球、黑球与白球的个数， 求； 求二维随机变量的概率分布。 解：（1）在没有取白球的情况下取了一次红球相当于只有1个红球，2个黑球有放回的取两次，其中摸到一个红球 ； （2）X，Y的取值范围为0,1,2，故 X Y 0 1 2 0 1/4 1/6 1/36 1 1/3 1/9 0 2 1/9 0 0 §3.2 边缘分布3.3 条件分布 3.4 随机变量的独立性 三、计算下列各题 1. 设随机变量X在1,2,3,4四个整数中等可能取值，另一个随机变量Y在1~X中等可能取一个整数值，求（1）的联合分布律；（2）X，Y的边缘分布律。 解：由题意， 则由概率的乘法公式有 因此 X Y 1 2 3 4 1 1/4 1/8 1/12 1/16 25/48 2 0 1/8 1/12 1/16 13/48 3 0 0 1/12 1/16 7/48 4 0 0 0 1/16 3/48 1/4 1/4 1/4 1/4 1 2. 设二维随机变量的概率密度为 （1）求关于的边缘概率密度. （2）问是否独立？ 3. 设二维随机变量的概率密度为 求：（1）关于X和关于Y的边缘密度函数，并判断X与Y是否相互独立？ （2）。 解：（1） 由于 （2） 4. 设二维随机变量的概率密度为（1）求常数； （2） 求关于的边缘概率密度， （3）问是否独立？ 解 即 5. 雷达的圆形屏幕的半径为，设目标出现点在屏幕上均匀分布，（1）求的边缘概率密度，（2）问是否独立？ 6. 设二维随机变量的概率密度为，求（1）常数（2）随机变量的边缘密度，（3）概率。 解 （1）. ， (3) . 已知随机变量的概率分布： 1/4 1/2 1/4 1/2 1/2 且.（1）求的联合分布，（2）问是否独立？为什么？ 解 Y X -1 0 1 P．j 0 P11 P21 P31 1/2 1 0 P22 0 1/2 Pi. 1/4 1/2 1/4 1 （1）设的联合分布为 Y X -1 0 1 0 1/4 0 1/4 1 0 1/2 0 8. 设X与Y为两个相互独立的随机变量，X在区间上服从均匀分布，Y的概率密度为，求： （1）X与Y的联合概率密度； （2）设含有a的二次方程为，试求a有实根的概率。 解：（1） （2）含有a的二次方程为有实根的充要条件为 .而 四、证明题 设随机变量具有分布函数， 证明：X与Y相互独立。 证明： §3.5 两个随机变量函数的分布 三、计算下列各题 1. 设两个独立随机变量的分布律为, 解 由独立性可得 （） （1，2） （1，4） （3，2） （3，4） 0.18 0.12 0.42 0.28 3 5 5 7 –1 –3 1 –1 所以 的分布律为,的分布律为 2. 设独立, 服从均匀分布, 的概率密度.(用标准正态分布函数表示)。 解 由已知的密度函数为 Y在[-π,π]服从均匀分布, 则, X和Y独立, 由公式 3．设随机变量相互独立，且求的概率密度。 解 ∵独立， ∴ 又∵= ， 令，则 4. 已知随机变量服从二维正态分布, 其联合密度为, , 求随机变量的概率密度函数。 解 5. 已知随机变量X与Y相互独立，且都服从区间上的均匀分布，求的概率密度函数。 解：∵X与Y相互独立，