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第2章 解析函数 2.1 解析函数的概念及C-R条件 复数作为复数域的向量，是一维向量，或复数是复数域上的一维线性空间. 2-1 在点可导的充分必要条件是（ ）. （A）在点可导，且满足C-R条件，即在成立 （B）在点的一个邻域内可导 （C）在点可微，且满足C-R条件 （D）在点具有连续的偏导数，且满足C-R条件 解 由上题的推导过程知，若在点可导，则在可微，且 在点成立. 反之，若在可微，且满足C-R条件，则 故 选（C）. 2-2 若，则函数（ ）. （A）仅在原点可导 （B）处处不可导 （C）除原点外处处可导 （D）处处可微 解 在原点虽有但不可微；而除原点外可微但不满足C-R条件，因此，处处不可导. 选（B）. 如此简单一个函数却处处连续但不可导！ 2-3 若处处解析，则（ ）. （A） （B） （C）（ （D） 解 由C-R条件及 故 2-3 若则（ ）. （A）令在直线上可导 （B）仅在直线上可导 （C）仅在（0，0）点解析 （D）仅在（0，0）点可导 解 ，要满足C-R条件，要求 及，只有（0，0）点能满足此条件. 选（D）. 要记住在极坐标下的C-R条件. 中“”表示等价（无穷小）的意思这里由于是极坐标故而当令 “～”是等价无穷小的等价符号. 2-4 导出在极坐标下的C-R条件. 解 即在处可导的C-R条件，分两种解法. 1.用坐标变换法 的变化与之一样，故由C-R条件 得 及 这便是在极坐标下C-R条件. 2.直接用定义 而 当 时， 故 存在，令有 = 令亦有 比较上面等式得 与解1所得结果一致. 2-5 研究下列函数的可导性与解析性 （1） （2） （3） （4） 解 （1）仅当时C-R条件成立，故此函数在直线上处处可导.而在复平面上处处不解析. （2），因此，仅在两相交直线上处处可导，在全平面处处不解析. （3）C-R条件处处成立，且偏导数处处连续，因而处处可微，即处处解析. （4） 的偏导数处处连续，且C-R条件成立，故处处解析. 2-6 若是区域内的解析函数，那么，在内是否也是解析函数？ 解 只有当在内为常数时，才在内解析，否则不解析. 由C-R条件，，若也解析，则有于是，故为常数，从而也是常数. 结论，若是内不为常数值的解析函数，则在内不解析. 2-7 如果是解析函数，证明 证 ，故 由C-R条件得 故 2-8 如果是解析函数，证明 证 故 （1） 同样 （2） 由C-R条件，知 及 将（1）、（2）两式相加得 2-9 如果与均在内解析，证明是常数. 证 设，则由C-R条件得从而是实常数，是实常数，是常数. 2-10 设在点可导，证明 ，其中 证 在极坐标下 （后面的式子是顺便写出来的）故 也可写作 2.2 初等函数及其解析性 复变量的指数函数具有周期性. 2-11 若，则（ ）. （A） （B）为任意整数） （C） （D） 解 由于的周期为，故有 （取为任意整数） 得 要注意与的联系与区别. 2-12 关于复数的对数函数，下面公式正确的是（ ）. （A） （B） （C） （D） 解 由定义 （B）不正确在于 而当或时， ，故（B）不成立. 2-13 和它的主值分别是（ ）. （A）为整数）主值 （B）主值 （C）主值 （D），主值 解 ，取为整数，也是整数）得 选（B）.