在实轴上的根轨迹.ppt

第五章 根轨迹法 5.1 根轨迹的基本概念 5.2 根轨迹的绘制 5.3 广义根轨迹 5.4 控制系统的根轨迹分析方法 5.4.2 根轨迹的改造 系统根轨迹的整体格局由开环传递函数的零点、极点所共同决定的。开环零、极点位置不同，根轨迹的走向差异很大 1.增加开环零点对系统性能的影响 原系统开环传函 根轨迹向?移动 增加开环零点后原系统开环传函 - 增加一个零点，根轨迹将向左弯曲形成一个圆 G0(s)函数增加零点，会使根轨迹向s平面左半部移动，系统的稳定性增加。 增加一对共轭复数零点后的根轨迹 根轨迹向?移动 增加一对轭复数零点后的根轨迹向左弯曲 零度根轨迹绘制规则除以下三点外，其余与常规根轨迹相同： 1）规则4中的渐近线与实轴正向的夹角改为 2）规则5实轴上的根轨迹改为：在实轴的线段上存在根轨迹的条件是：其右边开环实数零点和开环实数极点数目之和为偶数 3）规则7中根轨迹的出射角和入射角改为： 完全根轨迹（或全根轨迹）：参数从负无穷大到正无穷大变化时的根轨迹 其中参数从负无穷大到零变化时的根轨迹称为补根轨迹 常规根轨迹为180度根轨迹，补根轨迹为零度根轨迹 5.4 .1 利用根轨迹分析控制系统 特征根与系统动态指标的关系:分析系统闭环零、极点的分布与阶跃响应的关系 线性定常系统的特征方程式有两种性质的特征根：实数或共轭复数 系统闭环特征方程式可分解为： 其中 q + 2 r ＝ n 5.4 控制系统的根轨迹分析方法 从根的性质就可以估计出原微分方程解(或过渡过程)的形式。 共轭复根 线性定常系统的过渡过程是由这两类分量叠加而成的，高阶系统是由低阶系统组合而成 在s左半平面的三类共轭复根对应的单位阶跃响应过渡曲线 1 和 3 有相同的虚部 2 和 3 有相同的实部； 1 和 2 对实轴有相同的夹角； 特征根与系统动态指标的关系 y 1)超调量σ%和衰减比 n 超调量 衰减比 两个复根同处在一条射线上时，与实轴的夹角： 等ξ线上的特征根对应相同的衰减比和超调量。 等ξ线越靠近虚轴， ξ越小，系统振荡越剧烈，超调量越大，衰减比越小，相对的稳定性变差。 等ξ线:在 s 平面上与实轴有相同夹角的直线 等频线(等 线): 在s平面上平行于实轴的直线。 2）峰值时间t p 极点虚部的函数 等频线上的极点具有相同的虚部，它们的峰值时间相同，振荡频率相同。 等频线离实轴越远，则 tp 越短，振荡频率越高 3）调节时间 ts（过渡时间） 极点实部的函数。 等α 线：在 s 平面上平行于虚轴的直线 等α 线离虚轴越远，它所对应的过渡过程时间 ts 越短 等α线上的极点具有相同的实部，它们对应相同的过渡时间。 在常用的质量指标中，四种动态指标可以在根平面中用三种直线表示 ?衰减比和超调量都可以用等ζ线代表 ?振荡频率用等频线代表 ?过渡时间用等α 线代表 当闭环系统的一对主要特征根落在合格区内时，系统的质量能达到要求。 ?它们重合的部分符合各个指标。 ??三直线的合格区域都可以用阴影表示出来。 试画根轨迹，并确定 时 K * 的值。 解：只对根轨迹曲线的特征点进行分析 例5.7：系统的开环传递函数为 渐近线与实轴的交点： j (1) 渐近线：3条。 渐近线的夹角： 即 （2）分离点： （舍去） （3）与虚轴的交点 特征方程： 令 代入，求得 实部方程: 解得： (起点) 虚部方程： （4）确定 时的 K* 值： 过原点作OA射线交根轨迹于A，使 求得 测量得: K* = 44.5 时另外一个极点 K* = 44.5 时第三个极点：利用闭环极点与特征方程系数ai 的关系求解 所有闭环极点的和满足： 所有闭环极点的积满足： 特征方程： 求得 同理可求得根轨迹在实轴上的分离点 -1.57 处对应的 K* = 17 K* 240 时：根轨迹进入 s 右半平面，系统处于不稳定状态。 K* 240 时：系统根都分布在 s 左半平面，系统是稳定的。 1）稳定性分析： K* = 240 时：临界稳定等幅振荡。 2）稳态性能分析： 系统的开环根迹增益 K* 与开环放大系数成正比，对稳定的系统来说， K* 越大，稳态误差越小，稳态性能也越好，但 K* 不能大于240，否则，系统将出现不稳定状态。 3）动态性能分析： 系统的根为负实数， 可看成三个惯性环节的串联，系统输出具有非周期特性。 当 17 K* 240 时，系统有两个根轨迹分支进入复平面，产生一对共轭复根，使系统的阶跃响应带有振荡的特性。 随着 K* 增大，复根越靠近虚轴，输出振荡越厉害 当 0 K* ≤17 时： s3相对s1、s2来说，远离虚轴，