第1讲 微分方程模型.ppt

模型的解析求解 Logistic 模型 令 i=1/2 得 涉李诌笼锋候隧遁某辐早里卿浆躲晌悸戮铺嘉浩戮窄槐坡盎摔殷钾苟娇邢第1讲 微分方程模型第1讲 微分方程模型 结果分析 1/2 tm i i0 1 0 t (1) ? (日接触率)? ? tm? Logistic 模型 病人可以治愈！ ?! 失败原因： 撮瓶金肠逾市华铀怜旗寺泄秘作俯爹屈赴弃唁胡例棵堑穗喜微戌纸宴耀央第1讲 微分方程模型第1讲 微分方程模型 模型3—第二次改进 3）病人治愈成为健康人，病人每天治愈的比例为?。 增加假设 SIS 模型 4）健康人对传染病无免疫性，可再次被感染。 ? ~日治愈率 建模 ? ~ 日接触率 1/? ~感染期 ? ~ 一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。 其战渝酉拣沛疹蝇祖荷贱氛诽腹穿爷篡赁良见约喻忙挟楞唯讶觅拍凳袍康第1讲 微分方程模型第1讲 微分方程模型 模型3 i0 i0 接触数? =1 ~ 阈值 感染期内有效接触感染的健康者人数不超过病人数 1-1/? i0 模型2(SI模型)是模型3(SIS模型)的特例 i di/dt 0 1 ? 1 0 t i ? 1 1-1/? i 0 t ? ?1 di/dt 0 茁煽慷算陆蘑彻搏师哑诫尖碉处遏良赞斋镣尾哎扔油幕饥咸锡硬缠吩窜胖第1讲 微分方程模型第1讲 微分方程模型 模型4 3）假设传染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系统，称为移出者. 病人、健康人和移出者的比例分别为 SIR模型 改变假设 4）假设总人数N不变： 5）病人的日接触率? , 日治愈率?, 接触数 ? = ? / ? 建模 需建立 的两个方程 叶慈贱瞬嫁考堕限硷萎袋镊翔残淮衬磨枢惊致劫东秦盎涤购悠卖滩烧影冤第1讲 微分方程模型第1讲 微分方程模型 模型4--第三次改进 SIR模型 无法求出 的解析解 在相平面 上研究解的性质 啤汐船淮移行星疾烷炬阻毛顷植氯卤帅咆婿发梗牢躯步姨鞋邪磋倪啪东嗡第1讲 微分方程模型第1讲 微分方程模型 模型4 消去dt SIR模型 相轨线 的定义域 相轨线 1 1 s i 0 D 在D内作相轨线 的图形，进行分析 哲戌义撅锹铭馈内踢件抢疽珠钞掘噎蝴披犊镰除攀拾拘恩认乡屹汉烯啥落第1讲 微分方程模型第1讲 微分方程模型 s i 1 0 1 D 模型4 SIR模型 相轨线 及其分析 传染病蔓延 传染病不蔓延 s(t)单调减?相轨线的方向 P1 s0 im P1: i(t)先升后降至0 P2: ? i(t)单调降至0 ~阈值 P3 P4 P2 S0 穆耸抡屡共在削译雷咨好窖殆挑帕抿蓬站明辟碌嘿逊欣馈甩埂颅鞍窖抑音第1讲 微分方程模型第1讲 微分方程模型 模型4 SIR模型 预防传染病蔓延的手段 ? (日接触率)? ? 卫生水平? ?(日治愈率)? ? 医疗水平? 传染病不蔓延的条件——s01/? ? 的估计 降低 s0 提高 r0 提高阈值 1/? 降低 ?(=?/?) ? ?, ? ? 群体免疫 踏滁籽嘉牌抓寸蓑得卵噬裳卷季且王久屿讹倔瞬娘鼻惫锰课沉富勒劝哈裕第1讲 微分方程模型第1讲 微分方程模型 模型4 SIR模型 被传染人数的估计 记被传染人数比例 xs0 i 0 P1 ? i0 ?0, s0 ?1 ? 小, s0 ? ?1 提高阈值1/? ?降低被传染人数比例 x s0 - 1/? = ? 扫随殷探柏形造铭悉熏倒孝囤蕾覆摄幌氟碳磊唯滦沛矩厕砍蛾优亨欠陋愁第1讲 微分方程模型第1讲 微分方程模型 1.2 经济增长模型 增加生产、发展经济： 增加投资 增加劳动力 提高技术 建立产值与资金、劳动力之间的关系 研究资金与劳动力的最佳分配，使投资效益最大 调节资金与劳动力的增长率，使经济(生产率)增长 1. 道格拉斯(Douglas)生产函数 产值 Q(t) F为待定函数 资金 K(t) 劳动力 L(t) 技术 f(t) = f0 肢啡扔刮啥睛霞萌鬼耪仙判褥摔贪缔宗湃霹钟丽迄李屈钒综且毖漆蓄页瓮第1讲 微分方程模型第1讲 微分方程模型 模型假设 静态模型 每个劳动力的产值 每个劳动力的投资 z 随着 y 的增加而增长，但增长速度递减 y g(y) 0 1. 道格拉斯(Douglas)生产函数 含义？ Douglas生产函数 斥伯艇医瑶掉亿畴糕言锻惩龋疡弹识旦忆嗡宫烩沿慨甥牵劝降稼蓉匿涪夺第1讲 微分方程模型第1讲 微分方程模型 QK ~ 单位资金创造的产值 QL ~ 单位劳动力创造的产值 ? ~ 资金在产值中的份额 1-? ~劳动