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9 弦的自由振动 振动方程分离变量 求解本征值问题 求一般解 满足初条件的解 正弦函数的正交归一性 用初始位置确定的叠加系数 用初始速度确定的叠加系数 求一般解 * 弦的自由振动 参考章节：14.1~14.2 基本练习：p207:1,3,6 附加练习：p207:2,8,10 求解偏微分方程最常用的方法是分离变量法。 考虑两端固定的弦的自由振动： 分离变量法的基本想法是，把特解分解成单变量函数的乘积 边界条件变成约束条件 这就得到空间部分的常微分方程及其约束条件： 结果得到的是无任何物理意义的解。 有物理意义的解 在分离变量过程中引入的常数必须取某些特定数值，才有可能得到有物理意义的解。 常数的这种特定数值叫本征值，相应的微分方程及其约束条件构成本征值问题 求解本征值问题后，接着求解时间演化方程： 满足偏微分方程和边界条件的特解这样构成： 一般说来，单独一个特解不一定满足初始条件。 偏微分方程是线性和齐次的，可以将所有特解做线性叠加构成一般解： 把初始条件用到这里 对应于不同本征值的本征函数是正交的。 本征函数的正交归一性可以统一写成： 利用这个特点就可以确定一般解中的叠加系数。 本征函数的模方 这个特点叫本征函数的归一性。 现在来看特解的意义： 这正是两端固定的弦产生的一种可能的驻波。 整个问题的解是这些可能的驻波的线性叠加。 从数学上看，热传导问题、稳定问题有类似的偏微分方程、边界条件和初条件，也可以用分离变量法进行求解。 作为课外练习，请自行阅读、重复14.3节。 *
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