椭圆,双曲线抛物线定义及性质.docVIP

第1讲 椭圆。双曲线。抛物线的定义及性质 班级： _________ 姓名： ____________ 小 组：___________ 评价：___________ 【考纲解读】 高考考查椭圆的标准方程及简单性质、圆的切线问题.题目综合考查了椭圆和圆这两个热点问题，具有一定的综合性.题目难度中档，代表了高考对这部分内容的考查方向. 【课堂六环节】 一、导——教师导入新课。（7分钟） 1，椭圆的定义及性质 2，双曲线的定义及性质 3，抛物线的定义及性质 二、思——自主学习。学生结合课本自主学习，完成下列相关内容。（15分钟） 例1　已知P为椭圆＋y2＝1和双曲线x2－＝1的一个交点，F1，F2为椭圆的两个焦点，那么∠F1PF2的余弦值为____. 解析　由椭圆和双曲线的方程可知，F1，F2为它们的公共焦点，不妨设PF1PF2，则， 所以.又F1F2＝2，由余弦定理可知cos∠F1PF2＝－. 例2 已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，且PF1＝tPF2，则t的值为________. 解析　设N为PF1的中点，则NO∥PF2，故PF2⊥x轴， 故PF2＝＝，而PF1＋PF2＝2a＝4，∴PF1＝，t＝7. 例3　已知双曲线－＝1(a0，b0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的方程为______________. 解析　抛物线y2＝24x的准线方程为x＝－6，故双曲线中c＝6. ①。由双曲线－＝1的一条渐近线方程为y＝x，知＝。②。且c2＝a2＋b2 ③。由①②③解得a2＝9，b2＝27. 故双曲线的方程为－＝1. 例4：设抛物线y2＝2px (p0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴.证明：直线AC经过原点O. 证明　方法一　如图所示，抛物线y2＝2px (p0)的焦点为F，∴经过点F的直线AB的方程可设为x＝my＋；代入抛物线方程?y2－2pmy－p2＝0.若记A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1，y2是该方程的两个根.∴y1y2＝－p2. ∵BC∥x轴，且点C在准线x＝－上，∴点C的坐标为， ∴直线CO的斜率为k＝＝＝.即k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O. 方法二　如图，记x轴与抛物线准线l的交点为E，过A作AD⊥l，D是垂足，则AD∥FE∥BC. 连结AC，与EF相交于点N，则＝＝， ＝，由抛物线的几何性质知AF＝AD，BF＝BC， ∴EN＝＝＝NF，即点N是EF的中点，与抛物线顶点O重合，所以直线AC经过原点O. 例5　已知椭圆C的中心为平面直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.(1)求椭圆C的方程；(2)若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的一点，＝λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线. 解析：　(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a、c，由已知得解得又∵b2＝a2－c2，∴b＝，所以椭圆C的方程为＋＝1. (2)设M(x，y)，其中x∈[－4,4]，由已知＝λ2及点P在椭圆C上可得＝λ2， 整理得(16λ2－9)x2＋16λ2y2＝112，其中x∈[－4,4].①当λ＝时，化简得9y2＝112， 所以点M的轨迹方程为y＝±(－4≤x≤4).轨迹是两条平行于x轴的线段. ②当λ≠时，方程变形为＋＝1，其中x∈[－4,4]. 当0λ时，点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足－4≤x≤4的部分； 当λ1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足－4≤x≤4的部分； 当λ≥1时，点M的轨迹为中心在原点，长轴在x轴上的椭圆. 例6 已知圆C的方程为x2＋y2＝4.(1)直线l过点P(1,2)，且与圆C交于A、B两点，若AB＝2，求直线l的方程；(2)过圆C上一动点M(不在x轴上)作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量，求动点Q的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线. 解析：(1)当直线l垂直于x轴时，直线方程为x＝1，l与圆的两个交点坐标为(1，)和(1，－)，其距离为2，满足题意.若直线l不垂直于x轴，设其方程为y－2＝k(x－1)， 即kx－y－k＋2＝0.设圆心到此直线的距离为d，则d＝＝1. 所以＝1，解得k＝，故所求直线方程为3x－4y＋5＝0. 综上所述，所求直线方程为3x－4y＋5＝0或x＝1. (2)设点M的坐标为(x0，y0) (y0≠0)，Q点坐标为(x，y)，则N点坐标是(0，y0). 因为，所以