数值计算方法课件-期末复习资料.docVIP

第3章 一、P83例1,例2 Newton插值 二、（Newton反插值）已知f (x)在区间上的部分函数值，用3次Newton插值函数求f (x)近似值。（f (x)在区间,2)上为单调函数，计算过程保留） x f (x) 8 -7.5 -13.75 -18 解：由f (x)在区间（,2）上是单调函数，且f ()* f (2)≤ 0,可知f (x)在定义域内有且仅有一个根。将x与f (x)互换位置建立差商表如下： f(x) x 8 0 -0.064516 -7.5 1 0.000712 -0.080000 -0.000111 -13.75 1.5 0.003585 -0.117647 -18 2 ②写3次插值多项式 x=×( f (x)-8)+ 0.000712×( f (x)-8) ×( f (x)+7.5) -0.000111×( f (x)-8) ×( f (x)+7.5) × ( f (x)+13.75) ③代入f (x)=0，有x＝ ∴ x＝f (x)在（0,2）上的零点近似值。 1.36 1.73 1.95 2.28 14.094 16.844 18.475 20.963 解：①根据点的分布情况，确定，即取 ②选择权系数，建立法方程组： 写矩阵形式 ③用Gauss列主元素法解法方程组： ∵∣7.32∣∣4∣， ∴换行有 ∴有 第4章 一、变步长的复合求积法：P137例2 二、Romberg算法：用Romberg方法求定积分 使误差不超过。（计算过程中小数点后保留5位） 解： 计算时所需公式为： 按上述公式计算 继续计算 列数表如下： 0 0.92957 1 0.87697 0.85944 2 0.86361 0.85916 0.85914 第5章 一、三阶、四阶R-K法：P180例 第6章 一、Jacobi法和G-S法的收敛性判断及计算 已知线性方程组 （1）判断Jacobi迭代法求解时的收敛性。 （2）若Jacobi法收敛，则以为初始值迭代计算方程组的解，当时迭代停止。 解：（1）系数矩阵为 按行严格对角占优，故Jacobi迭代法收敛。 （2）①Jacobi迭代格式为 ②取，计算结果如下表所示： k 0 1.5 2 -2 1 1.8 2.35 -2.2 0.35 2 1.695 2.24 -2.165 0.11 3 1.728 2.275 -2.176 0.035 4 1.7175 2.264 -2.1725 0.011 5 1.7208 2.2675 -2.1736 0.0035 因为，故取。 二、非线性方程的迭代解法 对于一元非线性方程 （1）证明：是方程的一个单根区间； （2）构造迭代公式，使之对初始近似值，迭代方法收敛； （3）用所构造的公式计算根的近似值,取初始值，要求。（注：计算过程中保留小数点后6位） 解：（1）①令。由于，因此区间是方程的一个有根区间。 ②又因为当时，，即当时，单增，所以区间 是方程的单根区间。 （2）①将等价变形为，相应的迭代法为。 ②迭代函数，当时是一个单增函数。 当时，； 又当时，是一个单减函数，； 所以迭代法对于任意均收敛。 （3）取，利用进行迭代计算，结果如下表所示： 0 2.5 1 2.493315 0.006685 2 2.491522 0.001793 3 2.491040 0.000482 此时满足误差要求，即0。