例谈高考椭圆双曲线离心率的求法.docVIP

例谈高考椭圆双曲线离心率的求法 摘要：离心率是圆锥曲线中的一个重要性质，是高考的热点和难点。离心率的求法涉及到解析几何、代数等多个知识点，综合性强，方法灵活，学生在解题中普遍存在困难。如何根据题设条件找到切入点，挖掘题中的隐含条件，构建含有离心率的关系式是解决这类问题的关键所在，下面以实例探索这类问题的求解方法及策略。 关键词：圆锥曲线 离心率 求法 离心率是圆锥曲线中的一个重要性质，是高考的热点和难点。离心率的求法涉及到解析几何、代数等多个知识点，综合性强，方法灵活，学生在解题中普遍存在困难。如何根据题设条件找到切入点，挖掘题中隐含条件，构建含有离心率的关系式是解决这类问题的关键所在，下面以高考实例探索这些问题的求解方法。 圆锥曲线的离心率为，它是一个比值，它与圆锥曲线的大小无关，只与其形状有关。在椭圆中，离心率越大，椭圆越扁平，离心率越小，椭圆越圆，椭圆的离心率的取值范围；在双曲线中，离心率越大，双曲线的形状从扁狭逐渐变得开阔，即双曲线的“张口”逐渐增大，双曲线的离心率的取值范围；在 中，离心率。所以在求解椭圆双曲线的离心率过程中关键是构建与有关的关系式。圆锥曲线离心率的问题，通常有两类：一是求椭圆和双曲线的离心率；二类是求椭圆双曲线离心率的取值范围。另外我们注意到，圆锥曲线的计算往往都是比较的复杂，涉及到的知识比较多，在求解的过程中，为了达到计算的简便，在题设中对没有条件限制的时候，我们可以取，则离心率就转化为求就好了，这样子就会大大降低了计算的要求。 求椭圆和双曲线的离心率 例1、（2009年安徽）下列曲线的离心率为的是 解析：是个大于1的数，即双曲线离心率。根据离心率的公式或者易知答案为B. 例2、（2007年浙江）已知双曲线的左右焦点分别为,是准线上的一点，且则双曲线的离心率为 分析：设是右准线上的一点，根据所以三角形是直角三角形，且点的横坐标为，又由等面积法可求的纵坐标，再根据直角三角形的射影定理即可找出等量关系，从而求出离心率。 解：取，设设是右准线上的一点，因为所以所以，又因为， 所以，解得即离心率为。 例3、（2005年山东）已知双曲线的右焦点F，右准线L与两条渐近线交于P、Q两点，如果三角形PQF是直角三角形，则双曲线 离心率为 分析：设右准线与轴的交点为M，由题意可知是等腰直角三角形，所以是等腰直角三角形，所以，从而求出离心率。 解：取，设右准线与轴的交点为M，由题意可知是等腰直角三角形，由渐近线与右准线相交求得P点为，又易知是等腰直角三角形，所以，即，所以，即所以即离心率为。 例4、（2008年江苏）在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为2，以为圆心，为半径的圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率为 分析：如图,与圆O相切，由于切线互相垂直，所以四边形为正方形，，从而求出离心率。 解：取，由已知条件，四边形OAPB为正方形，所以 所以，即，所以，即。 椭圆和双曲线离心率的取值范围 例1、（2006年辽宁）方程的两个根分别作为（ ） A.一椭圆和一双曲线的离心率 B.两抛物线的离心率 C.一椭圆和一抛物线的离心率 D.两椭圆的离心率 解析：方程的两个根分别为和2，根据椭圆双曲线的离心率的取值范围即可知道答案为A. 例2、（2007年湖南）设分别是椭圆的左右焦点，若在其右准线上存在点P，使线段中垂线过点，则椭圆的离心率的取值范围是 分析：设右准线与轴的相交于点H，由题意，椭圆上存在点P，使线段中垂线过点，即P点到点与的距离相等，即,如果我们考虑几何的大小，易知，得到一个关于基本量的不等式，从而求出离心率的范围。 解：取，设右准线与轴的相交于点H，由题意，椭圆上存在点P，使线段中垂线过点，所以，又，所以，即所以，即所求离心率的取值范围为。 例3、（2010年四川）椭圆的右焦点,其右准线与轴的相交于点，在椭圆上存在点满足线段的垂直平分线过，则椭圆的离心率的取值范围是 分析：由题意，椭圆上存在点，使得线段的垂直平分线过点，即点与点的距离相等，。如果我们考虑几何的大小，易知不超过，得到一个关于基本量的不等式，从而求出离心率的范围。 解：取，椭圆上存在点，使得线段的垂直平分线过点，所以，而，，所以，所以，即，所以，即所求的离心率的取值范围为。 例4、（2009年重庆理）已知双曲线的左、右焦点分别为,若双曲线上存在一点使得，则该双曲线的离心率的取值范围是 分析：由正弦定理得