一类最值模型.docVIP

§ 一类最值模型 例2：几何模型： 条件：如图7，A、B是直线同旁的两个定点。 问题：在直线上确定一点P，使PA+PB的值最小。 方法是：作点A关于直线的对称点A′，连结A′B交于点P，则PA+PB=A′B的值最小（不必证明）。 模型应用： （1）如图8，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点。连结BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称。连结ED交AC于P，则PB+PE的最小值是 。 （2）如图9，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值； （3）如图10，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值。 考法评析：从知识上来看，本题是考查“利用轴对称的性质和三角形三边关系”求一定条件下的两条线段和的最小值。从过程来看，本题却是考查在掌握一种模型或模式之后能否善于在变形中应用，而这种将变式或变形划归为已有模型或模式的做法和能力，正是数学学习最为需要的能力。综合这两方面看，本题有较好的效度、可推广性和教育性。 变式：某课题组在探究“泵站问题“时抽象出数学模型： 直线同旁有两个定点A、B，则在直线上存在点P，使PA+PB的值最小。解法：作点A关于直线的对称点A′，连续A′B，A′B与直线的交点即为P，且PA+PB的最小值为A′B。 请利用上述模型解决下列问题： （1）几何应用：如图1，等腰直角三角形ABC的直角边长为2，E是斜边AB的中点，P是边AC上的一动点，则PB+PE的最小值为 ； （2）几何拓展：如图2，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一点M、N使BM+MN的值最小，求这个最小值 ； （3）代数应用：求代数式（0≤≤4）的最小值。 解：（1） （2）作点B关于直线AC的对称点B′ 作B′N⊥AB于N，交AC于M，连结BM，则BM+MN=B′M+MN=B′N的值最小 ∵B、B′关于AC对称且∠CAB=30° ∴△AB′B是等边三角形 则BN=1，B′B=2 ∴B′N= ∴BM+MN= B′M+MN=B′N= （3）如图作AB=4，AC⊥AB，DB⊥AB且CA=1，DB=2 作C关于AB的对称点C′，连结C′D交于AB于P点，设AP= 则CP= DP= 作C′E⊥DB于E 则C′E=AB=4，BE=AC′=AC=1 ∴DE=3 C′D= ∴代数式的最小值为5 数学建模中的实际问题背景更加复杂，解答具有更大的综合性和多样性，而结论还需要进行检验和优化，带有更大的挑战性和创造性。数学建模的教学使学生走出课本，走出传统的习题演练；使他们进入生活、生产的实际中，进入一个更加开放的天地；使学生体会到数学的由来、数学的应用，体验到一个充满生命活力的教学，这对于培养学生应用意识和创造精神显然是一个很好的途径。