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数学思想 数学思想方法是数学的灵魂，那么，要想学好数学、用好数学，就要深入到数学的“灵魂深处”。 在小学阶段，数学思想方法主要有符号化思想、化归思想、类比思想、归纳思想、分类思想、方程思想、集合思想、函数思想、一一对应思想、模型思想、数形结合思想、演绎推理思想、变换思想、统计与概率思想等等。 一、符号化思想 1. 符号化思想的概念 数学符号是数学的语言，数学世界是一个符号化的世界，数学作为人们进行表示、计算、推理和解决问题的工具。 2. 如何理解符号化思想 第一，能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号表示。这是一个从具体到抽象、从特殊到一般的探索和归纳的过程。如加法交换律，并用符号表示：a+b=b+a。再如在长方形上拼摆单位面积的小正方形，探索并归纳出长方形的面积公式，并用符号表示：S＝ab。这是一个符号化的过程，同时也是一个模型化的过程。 第二，理解符号所代表的数量关系和变化规律。这是一个从一般到特殊、从理论到实践的过程。包括用关系式、表格和图象等表示情境中数量间的关系。如假设一个正方形的边长是a，那么4a就表示该正方形的周长，a2表示该正方形的面积。这同样是一个符号化的过程，同时也是一个解释和应用模型的过程。 第三，会进行符号间的转换。数量间的关系一旦确定，便可以用数学符号表示出来，但数学符号不是唯一的，可以丰富多彩。如一辆汽车的行驶时速为定值80千米，那么该辆汽车行驶的路程和时间成正比，它们之间的数量关系既可以用表格的形式表示，也可以用公式s=80t表示，还可以用图象表示。即这些符号是可以相互转换的。 第四，能选择适当的程序和方法解决用符号所表示的问题。这是指完成符号化后的下一步工作，就是进行数学的运算和推理。能够进行正确的运算和推理是非常重要的数学基本功，也是非常重要的数学能力。 3. 符号化思想的具体应用。 符号在小学数学中的应用如下表 知识领域 知识点 应用举例 应用拓展 数与代数 数的表示 阿拉伯数字：0~9 ? ? ? 中文数字：一~十 ? ? ? 百分号：％ 千分号：‰ ? ? 用数轴表示数 ? ? 数的运算 +、－、×、÷、(? ) ﹝﹞﹛﹜2（平方）3（立方） ? ? 数的大小关系 ＝、≈、、 ≥、≤、≠ ? 运算定律 加法交换律：a+b=b+a ? ? ? 加法结合律：a+b+c=a+(b+c) ? ? ? 乘法交换律：ab=ba ? ? ? 乘法结合律：(ab)c=a(bc) ? ? ? 乘法分配律：a(b+c)=ab+ac ? ? 方程 ax+b=c ? ? 数量关系 时间、速度和路程：s=vt ? ? ? 数量、单价和总价：a=np ? ? ? 正比例关系：y/x=k ? ? ? 反比例关系：xy=k ? ? ? 用表格表示数量间的关系 ? ? ? 用图象表示数量间的关系 ? 空间与图形 用字母表示计量单位 长度单位：km、m、dm、cm、mm ? ? ? 面积单位：km2、m2、dm2、cm2、mm2 ? ? ? 质量单位：t、kg、g ? ? 用符号表示图形 用字母表示点：三角形ABC 用符号表示角： ∠1、∠2、∠3、∠4 △ABC 线段AB 直线CD 直线 L ? ? 两线段平行：AB∥CD 两线段垂直：AB⊥CD ABCD ? 用字母表示公式 三角形面积：S＝ab ? ? ? 平行四边形面积：S＝ah ? ? ? 梯形面积：S＝(a+b)h ? ? ? ? 圆周长：C＝2πr 圆面积：S＝πr? ? ? ? 长方体体积：v=abc 正方体体积：v=a? 圆柱体积：v=sh 圆锥体积：v=sh ? ? 统计与概率 统计图和统计表 用统计图表描述和分析各种信息 ? ? 可能性 用分数表示可能性的大小 ? 二、化归思想 1. 化归思想的概念 人们在面对数学问题，如果直接应用已有知识不能或不易解决该问题时，往往将需要解决的问题不断转化形式，把它归结为能够解决或比较容易解决的问题，最终使原问题得到解决，把这种思想方法称为化归（转化）思想。 2. 化归所遵循的原则 化归思想的实质就是在已有的简单的、具体的、基本的知识的基础上，把未知化为已知、把复杂化为简单、把一般化为特殊、把抽象化为具体、把非常规化为常规，从而解决各种问题。因此，应用化归思想时要遵循以下几个基本原则：? （1）数学化原则，即把生活中的问题转化为数学问题，建立数学模型，从而应用数学知识找到解决问题的方法。 （2）熟悉化原则，即把陌生的问题转化为熟悉的问题。 （3）简单化原则，即把复杂的问题转化为简单的问题。 （4）直观化原则，即把抽象的问题转化为具体的问题。 3. 化归思想的具体应用。 学生面对的各种数学问题，可以简单地分为两类：一类是直接应用已