一次函数双曲线.docVIP

一次函数与反比例函数综合题·典型例题 ? 例1 已知关于x的一次函数y＝mx＋3n和反比例函数 的图象都经过点(1，－2)．求： (1)一次函数和反比例函数的解析式； (2)两个函数图象的另一个交点的坐标． 解：(1)∵两函数图象都过点(1，－2)， ∴一次函数的解析式为y＝4x－6， (2)根据题意，列出方程组 互动 解后反思： (1，－2)，则该点坐标满足两解析式；要求两图象交点，则应由两图象的解析式组成方程组求解． (1)k满足什么条件时，这两个函数在同一坐标系xOy中的图象有两个公共点？ (2)设(1)中的两个公共点为A，B，试判断∠AOB是锐角还是钝角？ 消去y，得x2－6x＋k＝0． ∵Δ＝36－4k＞0，∴k＜9． 当k＜9且k≠0时，方程x2－6x＋k＝0有两个不相等的非零实数解． ∴k＜9且k≠0时，两函数图象有两个公共点． (2)∵y＝－x＋6的图象过第一，二，四象限， ∴0＜k＜9时，双曲线两支分别在第一、三象限．由此知两公共点 A，B在第一象限，此时∠AOB是锐角． k＜0时，双曲线两支分别在第二，四象限，两公共点A，B分别在第二、四象限，此时∠AOB是钝角． (1)求m的值； (2)若直线l分别与x轴、y轴相交于E，F两点，并且Rt△OEF(O是坐标原点)的外心为点A，试确定直线l的解析式； l绕点A旋转后所得的直线记为l′，若l′与y轴的正半轴相交于点C， 若存在，请求出点P的坐标？若不存在，请说明理由． (2)作AM⊥x轴于M． ∵A点是Rt△OEF的外心， ∴EA＝FA． 由AM∥y轴有OM＝ME． ∴OF＝2OM． ∵MA＝2，∴OF＝4． ∴F点的坐标为(0，4)． 设l：y＝kx＋b，则有 ∴C点坐标为(0，1)． 设B点坐标为(x1，y1，)，则 x1y1＝3． 设P点坐标为(0，y)，满足S△PCA＝S△BOK． ①当点P在C点上方时，y＞1，有 ∴y＝3． ②当点P在C点下方时，y＜1，有 ∴y＝－2． 综上知，在y轴存在点P(0，3)与(0，－2)，使得S△PAC＝S△BOK． 解后反思 直线与双曲线的综合题的重要组成部分是两种图象的交点，这是惟一能沟通它们的要素，应用交点时应注意： (1)交点既在直线上也在双曲线上，交点坐标既满足直线的解析式也满足双曲线的解析式． (2)要求交点坐标时，应将两种图象对应的解析式组成方程组，通过解方程组求出交点坐标． (3)判断两种图象有无交点时，可用判别式确定，也可以画出草图直观地确定． 上的两点，直线CD分别交x轴，y轴于A，B两点，设C，D的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，连结OC，OD． 析式． 证明(1)：如图13－33过点C作CG⊥x轴，垂足为G，则CG＝y1，OG＝x1． ∵在Rt△OCG中，CG＜OC＜CG＋OG， 解(2)：在Rt△GCO中，∠GCO＝∠BOC＝α， 解之，得x1＝±1． ∵负值不合题意，∴x1＝1，y1＝3． ∴点C的坐标为(1，3)， 过点D作DH⊥x轴，垂足为H．则DH＝y2，OH＝x2． 解之得y2＝±1． ∵负值不合题意，∴y2＝1，x2＝3． ∴点D的坐标为(3，1)． 设直线CD的解析式为y＝kx＋b． ∴直线CD的解析式为y＝－x＋4．