青岛科技大学2008-2009复变函数A试卷及答案.docVIP

 08-09 第一 复变函数(A) 数理学院 牟丽君 通信071-2信息071-4 苏鸿雁 （答案写在答题纸上，写在试题纸上无效） 选择题（每小题2分，共12分） 1、下列命题正确的是__________. A. B. C. D. （是整数） 2、复数的三角形式为________. A. B. C. D. 3、 若在圆环域内解析，则可以展成洛朗级数，其中________. A. B. ，为圆环域内围绕的简单闭曲线 C. D. ，为围绕的简单闭曲线 4、_______，其中C：正向圆周. A. B. C. 0 D. 5、若函数在区域D内解析，则下列命题错误的是____. A．在区域D内可微 B. 在区域D内解析 C． D. ，其中C为D内任意一条包围的闭曲线 6、是函数的__________. A．可去奇点 B二级极点 C．三级极点 D.本性奇点 填空题（每小题3分，共18分） 1、_____________. 2、设复数 . 3、设C为正向圆周，则=_________. 4、设C为围绕的任意简单闭曲线，为整数，则=_________. 5、. 6、设在扩充复平面内有三个孤立奇点，且它在奇点的留数分别是，则函数在零点的留数. 是非判断题（每小题2分，共10分） 1、. ( ) 2、解析函数的实部与虚部互为调和函数.（ ） 3、若在点的导数存在，则在点解析. （ ） 4、级数是绝对收敛的.（ ） 5、的孤立奇点是一级极点.（ ） 计算题（每小题10分，共50分） 1、计算积分. 2、函数在何处可导？何处解析？在可导点求其导函数. 3、求函数在的泰勒展式，并指出其泰勒级数的收敛范围. 4、将函数在圆环域内展为洛朗级数. 5、利用留数定理计算. 证明题（10分） 若在解析，证明：.  （答案要注明各个要点的评分标准） 一、选择题（2*6=12） 1． D 2．A 3．B 4．C 5．D 6．B 二、填空：（3*6=18） 1． 2． 3． 4． 5． 6． 三．判断题(2*6=12) 1．错 2．错 3．错 4．对 5．对 四．计算题（5*10=50） 1、 解：被积函数的奇点有和且都在内 ， （2分） 分别绕0和1作位于内的简单闭路和，由复合闭路定理 （3分） 原式 （5分） 由柯西积分公式及高阶导数公式 （6分） 上式= （8分） （10分） 2、 解：函数的定义域为复平面 （1分） 由已知 （2分） 而 （4分） 若函数可导须满足柯西黎曼方程 （6分） 即 所以 （7分） 所以，函数在直线可导，此时， （8分） 但在整个复平面不解析. （10分） 3、解：由于的解析区域是除负实轴上 外的区域， （1分） 所以离最近的奇点是-1，故收敛半径是1，收敛圆域是 （3分） 因为 （5分） 而