数值分析第五版第二章_插值法解析.pptVIP

Confidential, for review onlyBorland * Confidential, for review onlyBorland * 下面我们从最简单的情形着手，介绍如何构造这种插值函数，并在一定条件下讨论插值得到的函数与被插函数的误差 如何构造一个插值函数，能够满足通过两点的要求呢？最简单的就是通过两点作一点直线，把直线方程表示为 实际上这就是线性插值 Confidential, for review onlyBorland * 各阶差商可按下表排列方式逐列进行计算，称下表为差商表 Confidential, for review onlyBorland * 实用中常采取等距节点 xi+1 - xi = h，利用此特点，引入差分概念，可简化计算 差商表 xi f[xi] f[xi,xi+1] f[xi,xi+1,xi+2] f[xi,xi+1,xi+2] x0 f(x0) x1 f(x1) f[x0,x1] x2 f(x2) f[x1,x2] f[x0,x1,x2] x3 f(x3) f[x2,x3 ] f[x1,x2,x3] f[x0,x1,x2 ,x3] … … … f[x1,x2]- f[x0,x1] x2 – x0 xi f[xi] f[xi,xi+1] f[xi,xi+1,xi+2] f[xi,xi+1,xi+2 ,xi+2] 0 0 2 8 3 27 5 125 6 216 例2.11 求 f(xi)= x3在节点 x=0, 2, 3, 5, 6上的各阶差商值 解: 计算得如下表 在n+1个节点处各阶差商的计算方法 差商及其性质 牛顿(Newton)插值多项式 的系数 可根据插值条件推出, 即由 有 …… 这是关于 的下三角方程组,可以求得 一般，用数学归纳法可证明 所以n次牛顿(Newton)插值公式为 其余项 为牛顿插值多项式的误差。由插值多项式的存在惟一性定理知，满足同一组插值条件的拉格朗日插值多项式P(x)与牛顿插值多项式Nn(x)实际上是同一个多项式，仅是同一插值多项式的不同表达形式而已，因此得到牛顿插值多项式的误差与拉格朗日插值多项式的误差也完全相等。故有 可以看出，牛顿插值公式计算方便，增加一个插值点，只要多计算一项，而Nn(x)的各项系数恰好是各阶差商值，很有规律 xi f[xi] f[xi,xi+1] f[xi,xi+1,xi+2] 1 1 4 2 9 3 N2(7)=1+(7-1)*0.33333+ (7-1)*(7-4)*(-0.01667)= 2.69992 + (x- x0) (x-x1) f[x1,x0,x2] + (x- x0) f[x1,x0] =f(x0) N(x) 例 2.12 已知 x = 1, 4, 9 的平方根值，求 解： 4.4 .1 差商及其性质 例2.13 已知 x=0, 2, 3, 5 对应的函数值为 y=1, 3, 2, 5 , 作三次Newton插值多项式。 xi f(xi) 一阶差商 二阶差商 三阶差商 0 1 2 3 1 3 2 -1 -2/3 5 5 3/2 5/6 3/10 ∴ 所求的三次Newton插值多项式为 4.4 .1 差商及其性质 例2.14 已知 f(x) = x7+ x4+ 3x+ 1 求 f [20, 21, … 27 ] 及 f [20, 21, … 27, 28 ] 分析：本题 f(x)是一个多项式, 故应利用差商的性质 解: 由差商与导数之间的关系 例2.15 求 并估计其误差 解：作函数 f(x) = 取 x0=4, x1=9, x2=6.25 , 建立差商表 x f(x) f [xi,xi+1,] f[xi,xi+1,xi+2] 4 2 9 3 6.25 2.5 N2(7)= 2 + (7-4)*0.2 + (7-4)*(7-