二、本课程的总体教学要求.docVIP

高等数学（上） “微积分是近代数学中最伟大的成就” 第一章 函数 通过学习函数，能够清楚函数的定义、表示法、特性，并能简单运用初等函数。 极限和连续 通过学习极限与连续，能够熟练掌握极限和无穷小量的概念，极限的运算法则，两个重要极限及其应用，函数的连续性。 第三章 导数和微分 （1）掌握导数和微分的定义及其相互关系。 （2）理解导数的几何意义和作为变化率的实际意义。 （3）掌握各种求导法则。 第四章 微分中值定理与导数的应用 （1）掌握两个中值定理。并清楚它们的几何意义。 （2）掌握利用导数判断函数的单调区间和极值，会求函数凹凸区间和拐点。 （3）掌握求简单实际问题的最大最小值。 认真听课；仔细阅读教材；深入理解数学概念； 不断的演练习题；及时地复习所学习的知识点。 第1章 函数 １．１　函数的概念 设为自然数集，通过减法运算可以得到整数集，的元素通过除法运算可以得到有理数集。数轴上的点所对应的元素的全体记为，称为实数集。实数集，其中为无理数集。 区间与邻域的概念。 数集称为开区间，记为。闭区间。，称为半开区间。实数集可以记为。 点的邻域是开区间；用不等式表示为。 函数是最重要的数学概念之一。下面给出函数的概念。 定义1　设是一个非空的实数集合，如果存在某种对应规则，使得对，都有唯一的实数与之对应，就称确定了一个一元函数，通常记为，称为自变量，为函数（因变量），为定义域，函数值的集合称为值域． 函数表示的通常方式为公式法，自变量与因变量的关系用数学式子表示出来的方法称为公式法． 例如，函数，，以及分段函数 例1 求函数的定义域和函数值。 解 由有，。于是定义域为。 函数值为。 例2 设，该函数称为 取整函数。比如，。 函数的特性 有界性：设函数f(x)的定义域为D，如果有，使得对，都有，则称f(x)在D上有界。 如果对，使得 ，则称 f (x) 在上有上界。 例3 证明：。 证 由于，因而。 例 4 证明：。 证 由于，因而。 单调性：设函数f(x)的定义域为D，如果对 ，当时，恒有，就称为单调递增函数。同理，可以定义单调递减函数。我们统称单调递增和单调递减函数为单调函数。 有的函数在其定义域上没有单调性， 但在某个区间内是单调的。例如函数，，函数不具有单调性，但是 是严格单调递减的，是严格单调递增的。 （3）奇偶性：设f(x)的定义域为D，对，如果 ( i) ，则称该函数为奇函数； (ii) ，则称该函数为偶函数． 在图形上，奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称。 例如，是偶函数；是奇函数。 （4） 周期性：设函数f(x)的定义域为D，如果存在T≠0， 使得对，总有 则称 f(x)为D上的周期函数， T为 f(x)的一个周期． 通常周期函数有无穷多个周期．习惯上，我们把最小的正周期叫做该函数的周期 例如，通常所说的“的周期为”，指的就是它的最小正周期。事实上任意的(k为非零整数)均是它的周期． 复合函数与反函数 如果函数 g 的值域g(Dg)包含在函数 f 的定义域内，则可将 代入中，得到新的函数 我们称此函数 y为 f 和 g 复合而成的复合函数，u称为中间变量． 复合函数的概念通俗地理解，就是函数套函数． 例 5 设，求。 解 ， 。 设为给定的一个函数，如果对，都可以通过关系式在其定义域D中确定唯一的一个x与它对应，便得到一个定义在上的以y为自变量， x为因变量的新函数，我们称此函数为的反函数，记为 。 我们习惯上以字母x作为自变量， y 作为因变量，所以 的反函数又记为 和它的反函数的图像是关于直线 y = x 对称的． 有一个结论：严格单调函数存在反函数。 例 6 求函数的反函数。 解 由有 ， 因而反函数为。 例 7 讨论两个反三角函数。 解 设，则函数为严格单增的，于是反函数存在，记为 。 设，则函数为严格单减的，于是反函数存在，记为 。 作业 1 1 求函数的定义域： （1） （2） （3） （4） 2 设，求。 3 判定函数 的奇偶性。 4 求函数的周期。 5 讨论函数的单调性： （1） （2） （3） 初等