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《数学逻辑》作业 1何谓“数学哲学”？ 答：数学哲学作为数学观的理论形式，它是关于数学发生和发展的一般规律的学问。具体地说，它主要研究数学的对象，性质和方法地本体论，认识论和方法论问题。所以，它是数学与哲学的交叉学科，属于哲学的一个分支学科。作为研究数学发生，发展的一般规律的数学哲学，它的研究对象自然是数学，因此，可以说有了数学就有了数学哲学。但它与任何事物一样，有其孕育到独立发展的过程。现在，数学哲学正发展为一门独立的哲学分支学科。 2“数学是经验还是演绎的”这一说法是否科学？为什么？ 答:不科学。 因为数学性质应该是经验性与演绎性在实践基础上的辩证统一 （1）数学的经验性 应用数学家解决现实问题的过程大致是：建立现实问题的数学模型；运用数学理论求解模型；数学解的验证。由此可以看出，数学模型－现实－实践经验，所以数学知识具有经验的性质，这点与其它科学一样。 （2）数学的演绎性 当数学家对客观事物的量的关系的感性知识（经验知识）积累到一定程度以后，就可以通过概念、判断、推理的逻辑方法上升为理论知识构成公理系统。然后再从形式上去研究不同公理系统所必须满足的一些条件，构成新的演绎系统（形式系统)，获得新的理性知识。当然这种新的知识还只是一些抽象的规定，它还必须上升到理性的具体，检验理性认识是否符合客观实际。因此，从经验事实上说明数学具有演绎性的特点。 3叙述“量”“数”“数量”之间的关系 答: (a)量与质（quality)相对，最抽象，包括量的一切表现形式。数学中所讲的“量”实际上是指数量，它只是量的一种表现形式。一般表示空间形式或连续的量，具有大小的意思。 ( b)数也是量的一种表现形式，一般表示分立的量，具有多少的意思。解析几何的创立，揭示出数与数量（或数与形）具有同一性，可以相互表示。 4按照量的层次性对数学史分阶段并指出其优点 答:(a)量的第一层次：名数 （原始社会） 把具有不同性质的，与具体事物的质相联系，表示多少的数——名称，叫“名数”。例如：加拿大西部的卡利埃族语言中，tha表示3件东西、thane表示3种人、that表示3次等等。 (b)量的第二层次：（常）数 （奴隶制社会～16世纪） 无名数（1、2、3…）的出现标志着抽象的数概念的产生，标志着人类认识史上的一次飞跃。常数与名数的关系是抽象与具体的关系。常数的抽象程度比名数高。 c)量的第三层次：变数 （17世纪～18世纪） 这里的变数包括自变数和因变数。在常数数学中，用以计算的是一个个具体的，个别的数，其结果也是一种具体的，确定的数值；在变数数学中，因变数或函数在研究函数中除了计算其函数值外，更重要的是研究函数的连续性、可微性、可积性、零点及其分布等抽象性质。由此可见，常数反映的是个别的，具体的数值；而变数反映的是一般的、抽象的性质，所以，变数的抽象度高于常数。 c)量的第四层次：结构 （19世纪～现在） 进入19世纪以后，数学研究对象发生了根本的变化。其特点有： 从研究具有多少的量转化为研究具有运算特征的量；19世纪以后，新的数学对象不断出现，比如：四元数（a+bi+cj+dk,它是复数的不可交换的延伸，在程序中，物理种有很大应用），向量，矩阵，基数（集合论中的概念，也叫“势”，用以刻画集合所含元素的数量），序数，超复数（以高维度出现的复数）等等。他们各有其运算特点。 从研究运算转向研究运算性质。 突出的例子就是抽象代数的产生。E.伽罗瓦在研究高次代数方程根式解的可能性中，引进群的概念，建立了群理论，推动了抽象代数的产生。以前研究的都是建立在代数系的基础上，而抽象代数则建立在代数结构上。 法国布尔巴基学派发现了3中基本结构：代数结构、序结构、拓扑结构。他们作为母结构可以构成各样的结构，建立公理理论。因此，他们认为数学是研究结构的科学。 而现代数学中的“结构”是指满足一定公理的关系结构。变数数学研究的是函数，是一种数量关系，而结构是对数量关系中数量的扬弃，即否定具有多少的数和大小的量，而肯定关系，但并非一般关系，而是具有一定性质的特定关系。所以结构的抽象程度高于变数。 （5）量的层次的无限性 优点： （1）丰富哲学对量的认识 （2）现代数学是研究结构的科学 （3）为数学史分期提供新的标准 5什么是数学方法论？列举2—3个数学方法进行阐 所谓数学方法论就是以数学研究方法为对象，探讨各种数学方法的性质、特点和联系，并从个性中找出共性，从个别中探求一般，从而得出关于数学研究方法的规律性认识。它受到数学观的影响。比如数学基础3大学派解决数学基础问题的方案都是基于它们的不同数学观，而提出解决问题的不同方法的。还有认为数学是一门艺术的数学家，强调用美学的观点和方法来思考和研究问题、评判结果。 1.数学模型法 (1)数学模型法是连接实践与认识、感性与理性、主体与客